【动态规划】BZOJ2423: [HAOI2010]最长公共子序列

最新推荐文章于 2020-03-05 08:22:59 发布

jmsyzsfq

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分类专栏：动态规划文章标签：动态规划

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本文介绍了一种求解两个字符串最长公共子序列及其数量的方法，利用动态规划思想，通过构建状态转移方程来实现高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列

Input

第1行为第1个字符序列，都是大写字母组成，以”.”结束。长度小于5000。
第2行为第2个字符序列，都是大写字母组成，以”.”结束，长度小于5000。

Output

第1行输出上述两个最长公共子序列的长度。
第2行输出所有可能出现的最长公共子序列个数，答案可能很大，只要将答案对100,000,000求余即可。

Sample Input

ABCBDAB.
BACBBD.

Sample Output

4
7

思路

这题的第一问十分简单，我们就是搞一个Dp $f[i][j]$ 表示我们第一个串选到i，第二个串选到j的最大公共子序列长度
具体方程如下：

if(a[i]==b[j])f[i][j]=f[i][j-1]+1;
else f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i-1][j]);

而最长公共子序列个数我们也可以通过Dp求解
g[i][j] 表示两个串分别选到i和j的和最长公共子序列一样长的选择的个数
具体方程如下：

if(a[i]==b[j]){
    g[i][j]=g[i-1][j-1];
    if(f[i][j]==f[i-1][j]) (g[i][j]+=g[i-1][j])%=mo;
    if(f[i][j]==f[i][j-1]) (g[i][j]+=g[i][j-1])%=mo;
}
else{
    g[i][j]=0;
    if(f[i][j]==f[i-1][j]) (g[i][j]+=g[i-1][j])%=mo;
    if(f[i][j]==f[i][j-1]) (g[i][j]+=g[i][j-1])%=mo;
    if(f[i][j]==f[i-1][j-1]) (g[i][j]-=g[i-1][j-1])%=mo;
}

这里我用了滚动数组，因为A数组中每一位只与上一位有关所以可以滚动

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define N 100010
#define mo 100000000
using namespace std;
inline int read(){
    int ret=0,f=1;char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar())ret=ret*10+c-'0';
    return ret*f;
}
int n,m,g[2][N],f[2][N];
char a[N],b[N];
int main(){
    scanf("%s%s",a+1,b+1);
    n=strlen(a+1);m=strlen(b+1);
    --n,--m;
    for(int i=0;i<=m;++i)g[0][i]=1;
    g[1][0]=1;int l,r;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        l=i&1,r=l^1;
        for(int j=1;j<=m;++j){
            if(a[i]==b[j]){
                f[l][j]=f[r][j-1]+1;
                g[l][j]=g[r][j-1];
                if(f[l][j]==f[r][j])(g[l][j]+=g[r][j])%=mo;
                if(f[l][j]==f[l][j-1])(g[l][j]+=g[l][j-1])%=mo;
            }
            else{
                f[l][j]=max(f[r][j],f[l][j-1]);
                g[l][j]=0;
                if(f[l][j]==f[r][j])(g[l][j]+=g[r][j])%=mo;
                if(f[l][j]==f[l][j-1])(g[l][j]+=g[l][j-1])%=mo;
                if(f[l][j]==f[r][j-1])(g[l][j]-=g[r][j-1])%=mo;
            }
        }
    }
    printf("%d\n%d",f[n&1][m],(g[n&1][m]+mo)%mo);
    return 0;
}