【Dinic模板】【洛谷P3376】

Dinic

Dinic算法是网络流最大流的优化算法之一，每一步对原图进行分层，然后用DFS求增广路。时间复杂度是O(n^2*m)，Dinic算法最多被分为n个阶段，每个阶段包括建层次网络和寻找增广路两部分。
Dinic算法的思想是分阶段地在层次网络中增广。它与最短增广路算法不同之处是：最短增广路每个阶段执行完一次BFS增广后，要重新启动BFS从源点Vs开始寻找另一条增广路;而在Dinic算法中，只需一次DFS过程就可以实现多次增广。

算法介绍

层次图：

层次图，就是把原图中的点按照点到源的距离分“层”，只保留不同层之间的边的图。

算法流程：

1、根据残量网络计算层次图。
2、在层次图中使用DFS进行增广直到不存在增广路。
3、重复以上步骤直到无法增广。

时间复杂度：

因为在Dinic的执行过程中，每次重新分层，汇点所在的层次是严格递增的，而n个点的层次图最多有n层，所以最多重新分层n次。在同一个层次图中，因为每条增广路都有一个瓶颈，而两次增广的瓶颈不可能相同，所以增广路最多m条。搜索每一条增广路时，前进和回溯都最多n次，所以这两者造成的时间复杂度是O(nm)；而沿着同一条边(i,j)不可能枚举两次，因为第一次枚举时要么这条边的容量已经用尽，要么点j到汇不存在通路从而可将其从这一层次图中删除。综上所述，Dinic算法时间复杂度的理论上界是O(n^2*m)。

实现

首先对每条弧存一条反向弧，初始流量为0，当正向弧剩余流量减少时，反向弧剩余流量随之增加，这样就为每条弧提供了一个反悔的机会，可以让一个流沿反向弧退回而去寻找更优的路线。对于一个网络流图，用bfs将图分层，只保留每个点到下一个层次的弧，目的是减少寻找增广路的代价。对于每一次可行的增广操作，用dfs的方法寻找一条由源点到汇点的路径并获得这条路径的流量c。根据这条路径修改整个图,将所经之处正向边流量减少c，反向边流量增加c。如此反复直到bfs找不到可行的增广路线。

当前弧优化：

对于一个节点x，当它在dfs中走到了第i条弧时，前i-1条弧到汇点的流一定已经被流满而没有可行的路线了。那么当下一次再访问x节点的时候，前i-1条弧就可以被删掉而没有任何意义了。所以我们可以在每次枚举节点x所连的弧时，改变枚举的起点，这样就可以删除起点以前的所有弧以达到优化的效果。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 10000000
using namespace std;
int head[10005],nex[200005],tail[200005];
int cap[200005],tp=-1,dep[10005];
int fir[10005];
int n,m,s,t,a,b,v;
int dfs(int x,int now){
    if(!now||x==t)  return now;
    int c=0;
    for(int i=head[x];i!=-1;i=nex[i]){
        if(cap[i]&&dep[tail[i]]==dep[x]+1){
            int f=dfs(tail[i],min(now,cap[i]));
            c+=f;now-=f;
            cap[i]-=f;cap[i^1]+=f;
        }
    }
    return c;
}
inline bool bfs(){
    memset(dep,0,sizeof(dep));
    dep[s]=1;
    queue<int>q;
    q.push(s);
    while(!q.empty()){
        int x=q.front();
        q.pop();
        for(int i=head[x];i!=-1;i=nex[i]){
            if(cap[i]&&!dep[tail[i]]){
                dep[tail[i]]=dep[x]+1;
                q.push(tail[i]);
            }
        }
    }
    return dep[t];
}
inline void add(int x,int y,int v){
    nex[++tp]=head[x];
    head[x]=tp;
    tail[tp]=y;
    cap[tp]=v;
}
inline int Dinic(){
    int c=0;
    while(bfs())c+=dfs(s,INF);  
    return c;
}
int main(){
    memset(head,-1,sizeof(head));
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
    for(int i=1;i<=m;++i){
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&v);
        add(a,b,v);add(b,a,0);
    }
    printf("%d",Dinic());
    return 0;
}