51nod 1009 数字1的数量

【题目描述】

给定一个十进制正整数N，写下从1开始，到N的所有正数，计算出其中出现所有1的个数。
例如：n = 12，包含了5个1。1,10,12共包含3个1，11包含2个1，总共5个1。

【输入】

输入N(1 <= N <= 10 ⁹)

【输出】

输出包含1的个数

【输入样例】

12

【输出样例】

5

【分析】

两种方法：
方法一：常规解法，计算1~n，每个数中含1的数量，累加求和；
——问题：n个数字，要计算n次，效率不高
方法二：按位统计各种情况：枚举当第i位为1是，有多少数字（即统计1~n里，第i位是1的有多少个）
先看一些特殊情况：

1. n=999:
   当百位是1即1XX形态：XX的变化范围是00~99，共100种
   当十位是1即X1X形态：分情况讨论：01X，11X，21X，……91X，10种情况，每种情况，个位变化位0-9，所以X1X形态，共有100种可能
   当个位是1即XX1形态：XX的变化范围是00-99，共100种
   所以n=999时，含1的数量=100+100+100=300个1

2. n=8112：
   当千位是1时：1XXX形态：有0-999,共1000种可能
   当百位是1时：X1XX形态：01XX,11XX,21XX……71XX，每种xx变化范围是00-99，即100种可能，共（n/1000）*100种情况；81XX，xx变化范围是00-22,共n%100+1种情况。
   当十位是1时：XX1X形态：001X~801X，每种变化范围是0-9即10种可能，共（n/100）*10种情况；811X，X的变化范围0-2，共n%10+1种情况
   当个位是1时：XXX1形态：有n/10+1种情况。

3. n=1000时：
   当千位是1时，有n%1000+1中情况。
   当百位是1时，有n/1000种分类，即01XX型：此时有0-99，共100种可能。
   当十位是1时：有n/100种分类，即001X，011X，021X……091X，每型有10种可能。
   当个位是1时：有n/10种分类，即0001,0011,0021^0991,100种情况

总结：注意各个位置上大于1，等于1，小于1的处理情况不一样。

数值	第i位（由高到底1-n）	操作
0	0
1	1	0*10n-1 +8017+1
8	2	(1+1)*10n-2
0	3	18*10n-3
1	4	180*10n-4+7+1
7	5	(1801+1)*10n-5

设一个n位数，最高位为第1位，最低位为第n位，设函数num(st,wei)功能是取得第st位开始共wei位的数值。那么对于求第i位上的1有多少，有如下分析：
当第i位上的数值大于1时：有(num(1，i-1)+1)*10^n-i个1；
当第i位上的数等于1时：有num(1,i-1)*10^n-i+num(i+1,n-i)个1；
当第i位上的数小于1时：有num(1,i-1)*10^n-i个1；
求出每位上1的出现次数，求和即可求出1~n所有数字的含1总量。
思考：如果求1~n中所有数字含2的总量，你会算吗？