Miller-Rabin素数检测算法

最新推荐文章于 2022-11-15 18:02:28 发布

JK Chen

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分类专栏：数论/数学知识点 ACM中的数学问题合集

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本文介绍了一种高效的素数检测方法——Miller-Rabin算法。该算法利用费马小定理和二次探测定理来判断一个数是否为素数，并提供了具体的实现步骤和C++代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题外话
$\\$
一般做题的话,如果数据不是那种又大又分散的情况,一般是用试除法去做
$\\$
只需预处理出1~ $\sqrt{n}$ 的素数,一个一个去试除,即可判断一个数是否为素数

费马小定理

a和n互质时, $a^{n-1}\equiv 1(mod \;n)$

二次探测定理:

p为一个素数,则 $x^2\equiv 1(mod\;p)$ 在(0,p)范围内的解为x=1或x=p-1

Miller-Rabin素数检测算法:

此方法使用上面两个定理判断素数,值得注意的是,非素数也有大概25%的概率通过测试,所以呢,你要多测几次,降低错误的概率 (费马只能判断是否互质,二次探测定理也不是充分必要条件)

判断n是否为素数

首先得特判一下2和2以下的数,保证进入到下一步的数为2以上的奇数
令 $n-1=u*2^t$ ,使t尽量大即u为奇数为止
从[2,n-1]中随机取一个数a
令 $x=a^u\%n$
进行t次循环,使 $x=(x*x)\%n$
结束后 $x=a^{n-1}\%n$

在其中加入检测

第5步时,如果 $x*x\%n=1$ 时,解为 $x=1||x=n-1$ ,那么检测正常,否则即n不是质数
第6步时,判断x是否为1,不是1则n不是质数

代码:


#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll ModMul(ll a,ll b,ll n)//快速积取模 a*b%n
{
    ll ans=0;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans=(ans+a)%n;
        a=(a+a)%n;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll ModExp(ll a,ll b,ll n)//快速幂取模 a^b%n
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans=ModMul(ans,a,n);
        a=ModMul(a,a,n);
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
bool miller_rabin(ll n)//Miller-Rabin素数检测算法
{
      ll i,j,a,x,y,t,u,s=10;
      if(n==2)
            return true;
      if(n<2||!(n&1))
            return false;
      for(t=0,u=n-1;!(u&1);t++,u>>=1);//n-1=u*2^t
      for(i=0;i<s;i++)
      {
          a=rand()%(n-1)+1;
          x=ModExp(a,u,n);
          for(j=0;j<t;j++)
          {
              y=ModMul(x,x,n);
              if(y==1&&x!=1&&x!=n-1)
                    return false;
              x=y;
          }
          if(x!=1)
                return false;
      }
      return true;
}

int main()
{
    ll n;
    while(scanf("%lld",&n)!=EOF)
        if(miller_rabin(n))
            printf("Yes\n");
        else
            printf("No\n");
    return 0;
}