HDU6395Sequence(矩阵快速幂+分块)

最新推荐文章于 2019-09-26 17:16:52 发布

Pandauncle

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分类专栏：数论

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本文介绍了一种使用矩阵快速幂求解特定递归序列第n项的方法。针对一个非线性的递推式，通过分析得出在某些区间内可以将其转化为线性递推关系，并构造相应的矩阵进行快速幂运算，以此高效地计算出目标值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

思路：
这道题的范围很大所以没法使用直接跑循环地推的方法求第n项，很容易就能分析出应该转化成矩阵的方法，然后使用矩阵快速密来求解第n项的值。
题目给的递推式是一个非线性的关系，所以不能直接构造出一个矩阵。当⌊P/n⌋在某一块内为确定的常数时，我们就可以构造出矩阵，进行矩阵快速幂。而某一段内的最大个数为：j=n/(n/i),j是满足n/t=i最大的t。
构造的矩阵为：
这里写图片描述

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1000+10;
const ll MOD =1000000007;
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
struct  Matrix{
    ll  mat[3][3];
    Matrix operator * (const Matrix &m)const
    {
        Matrix tempe;
        for(int i=0;i<3;i++)
        {
            for(int j=0;j<3;j++)
            {
                tempe.mat[i][j]=0;
                for(int k=0;k<3;k++)
                {
                    tempe.mat[i][j]+=mat[i][k]*m.mat[k][j]%MOD;
                    tempe.mat[i][j]=tempe.mat[i][j]%MOD;
                }
            }
        }
        return tempe;
    }
};
Matrix power(Matrix a,ll b)
{
    //cout<<b<<endl;
    Matrix ans;
    mem(ans.mat,0);
    for(int i=0;i<3;i++)ans.mat[i][i]=1LL;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans=(ans*a);
        a=a*a;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
signed main()
{
    ll t;
    scanf("%lld",&t);
    while(t--)
    {
        ll A,B,C,D,P,n;
        scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&A,&B,&C,&D,&P,&n);
        if(n==1)
        {
            printf("lld\n",A);
            continue;
        }
        else if(n==2)
        {
            printf("%lld\n",B);
            continue;
        }
        Matrix bb;
        bb.mat[0][0]=B,bb.mat[1][0]=A,bb.mat[2][0]=1;
        Matrix a;
        a.mat[0][0]=D,a.mat[0][1]=C;
        a.mat[1][0]=1,a.mat[1][1]=0,a.mat[1][2]=0;
        a.mat[2][0]=0,a.mat[2][1]=0,a.mat[2][2]=1;
        Matrix ans,sum;
        for(int i=3;i<=n;i++)
        {
            a.mat[0][2]=P/i;
            if(P/i==0)
            {
                ans=power(a,n-i+1);
                bb=ans*bb;
                break;
            }
            int j=min(n,P/(P/i));
          //  cout<<j<<endl;
            ans=power(a,j-i+1);
            bb=ans*bb;
            i=j;
        }
        printf("%lld\n",bb.mat[0][0]%MOD);
    }
    return 0;
}