难以理解的“拓扑”：只是一块橡皮泥的变形记

拓扑是个啥？刚听到这个词你一定会一脸懵逼。而且，即便别人给你一通神解释，你仍然会一脸懵逼。因为他们会罗列一些让人云里雾里的名词：连续变形、连通性、孔洞、几何特性、空间关系、不变性质等等。

一、拓扑概念的本义

拓扑是个音译词，正是这个败类的音译让这个概念产生了难于理解的原罪。它来自topology（拓扑学）中的topo。topo的本义是place（地点、位置），拓扑学（Topology）原名叫做位置分析（Analysis situs），它研究的是位置关系。
什么？topology就仅仅是位置关系？就这么简单吗？
其实就是这么简单。
可人家就管这玩艺叫“拓扑”！气人不？
如果老金给你换个词，也是两个字，叫做“分布”，你是不是立马就能搞明白它是什么意思？

二、学术上的复杂解释

topo的本质含义非常简单，但学术上对它的解释却又非常复杂。
topology一词在牛津词典中的解释：

the study of geometrical properties and spatial relations unaffected by the continuous change of shape or size of figures
研究不受图形形状或大小连续变化影响的几何特性和空间关系的学科

看到这个解释你懵不懵逼？
再看看百度汉语中的解释：

①在同胚下不变性质的或在包含于同胚下不变性质的。
②涉及从严格定量测量中抽象出来的各种对象之间的关系的。

有没有感觉到说的不是人话？
再来一个，百度百科上的解释：

拓扑学（Topology）原名叫做位置分析（Analysis situs），是研究图形（或集合）在连续变形下的不变的整体性质的一门几何学。它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。

这个解释相对好理解了一些，但“研究图形（或集合）在连续变形下的不变的整体性质”还是会让人感觉到不知所云。

三、老金的理解

1．连续变形下的不变性质

百度百科中“在连续变形下的不变的整体性质”实在过于抽象，老金找到一个相对形象一点的解释，即用橡皮泥来解释这个概念。
对于橡皮泥来说，你可以随意地揉捏它（拉伸、扭曲都可以），只要不戳破、拉断或粘合，它的“洞洞”数量和连接方式是不会变的。这种在不改变物体连通性和洞的数量等条件下的变形，就是拓扑所关注的内容。
你可以把这块橡皮泥捏成一个球、一个立方体、一根棒棒糖，甚至你可以用想象力把它压缩成一个点，在拓扑学中，它们都是“等价”的，都可看作几何中的一个点。

所谓的“不变性质”，其实就是指“连接关系不变”，这一点是拓扑学的研究前提。拉伸、扭曲橡皮泥并不会改变橡皮泥各个分子的连接关系，原来连接在一起的都还连在一起，只不过分子间的距离变大或变小。但是如果戳破了、拉断了就意味着本来连在一起的部分断开了，而粘合意味着本来没有连接的部分连在了一起，它们都脱离了拓扑学的研究范畴。
在拓扑的世界里，重要的不是形状本身，而是形状在形变后仍然保持不变的性质。比如，一个圆圈和一个正方形，在拓扑学中，它们是“等价”的，因为你可以在不改变“连接关系”（不需要戳破或拉断它）的情况下，通过连续的形变把一个圆圈变成一个正方形。

2．位置关系

所谓的位置关系，有两个方面：

• 位置：什么算是一个位置？位置并不一定是一个点，一个区域也可能是一个位置，能压缩成一个点的区域就是一个位置，比如一块橡皮泥就是一个位置。
• 关系：各个位置之间的连接关系。

位置经常可以抽象为点，位置间的关系经常可以抽象为边。所以，拓补抽象出来，经常就是数据结构中的图。
但有些却变不成点，最简单的就是环，环无论怎样压缩，也变不成一个点，因为中间有空的部分。

四、拓扑问题实例

1．哥尼斯堡七桥问题

哥尼斯堡七桥问题是拓扑学的起源，话说在哥尼斯堡这地界有一条河，河中间有两个小岛，在河两岸和小岛间像下图a)这样架了七座桥。有好事者提出一个问题：能否每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。

大数学家欧拉首次利用了拓扑学简化了这个问题，河两岸是两块陆地，每块陆地就像前面的一块橡皮泥一样，改变陆地的形状、大小并不会改变与其他位置的连接关系，因此可以把两岸的陆地看成两个点。同理，中间的两个小岛也能看成两个点。故一共有4个位置点。而桥梁的长短、曲直,也与问题无关，可以看成7条边。于是，这个问题就简化为图b)的“一笔画”问题。

2．四色问题

四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一（另两个是费马猜想、哥德巴赫猜想）。
四色猜想指的是每幅地图都可以只用四种颜色进行区分。比如下面两张图：

这个问题也可以仿照七桥问题进行简化：每块相同颜色的区域可以视为一块橡皮泥，从而可压缩成一个位置点，每个区域与相邻区域具有邻接关系，可抽象成边。于是，就能把下图左边的地图简化为右边的图：