28、高效 ZHFE 密钥生成：原理、算法与性能分析

高效 ZHFE 密钥生成：原理、算法与性能分析

1. 系统方程分析

在相关系统中，方程的变量与集合 (A_{k}) 相关。当 (r = 2) 时，(A_{r - 1} = A_1)，((0, 1)) 是 (A_1) 中唯一形如 ((i, 1)) 的元素，此时系统中没有方程包含与 (A_{r - 1}) 和 (A_{r - 2}) 相关的变量；而当 (r > 2) 时，系统 (S) 中只有一个方程包含与 (A_{r - 1}) 和 (A_{r - 2}) 相关的变量，即 ((0, n - (r - 1) + 1, 1)) 方程。

若 (r \leq k < \frac{n}{2})，则 (\frac{n}{2} \leq n - k < n - k + 1 \leq n - 1)。系统 (S) 中只有 ((1, 0, k)) 和 ((0, n - k + 1, 1)) 方程包含与 (A_{k}) 和 (A_{k - 1}) 相关的变量，同时 ((0, 1, k + 1)) 和 ((1, n - k, 0)) 方程也有这样的变量。所有 ((s, i, j)) 形式且 ((i, j) \in A_{k}) 的方程都在 (S) 中，且仅包含与 (A_{k}) 相关的变量。

当 (k = \frac{n}{2}) 时，((1, 0, \frac{n}{2})) 和 ((0, 1, \frac{n}{2} + 1)) 方程是仅有的包含与 (A_{\frac{n}{2} - 1}) 和 (A_{\frac{n}{2}}) 相关变量的方程，而 (s \in {0, 1}) 且 ((i, j) \in A_{\frac{n}{2}}) 的 ((s, i, j)) 方程是 (S)