27、高效 ZHFE 密钥生成：理论与实践的突破

高效 ZHFE 密钥生成：理论与实践的突破

1. 引言

随着量子计算机的发展，后量子密码学（PQC）应运而生。量子计算机一旦建成，Shor 算法能在多项式时间内分解整数和解决离散对数问题（DLP），这将使当前大部分安全协议失效。多元公钥密码学（MPKC）是一种有吸引力的后量子替代方案，其公钥通常是有限域上的一组多元二次多项式。直接攻击 MPKC 需要求解多元二次方程组，这是一个 NP 难问题，且目前没有已知的量子算法能高效解决该问题。

虽然存在高效安全的 MPK 签名方案，但 MPK 加密方案尚未占据主导地位。HFE 密码系统是 PKC 加密的研究热点之一，它通过两个可逆仿射变换隐藏一个大域上的低次核心多项式。然而，HFE 存在弱点，已被 Faugère 等人攻破。Porras 等人提出了 ZHFE 加密方案，该方案能抵抗主要攻击，且加密和解密速度与 HFE 挑战 1 相当，但 ZHFE 的消失方程系统规模大，直接求解耗时耗内存，阻碍了其在实际安全协议中的应用。

2. ZHFE 加密方案

ZHFE 加密方案基于 Porras 等人提出的特殊约简方法，使用高次高秩的 q - Hamming 权重为 2 的多项式构建多元陷门函数。具体步骤如下：
1. 定义有限域和多项式 ：设 (n) 为正整数，(F) 是大小为 (q) 的有限域，(g(y) \in F[y]) 是 (n) 次不可约多项式。考虑域扩张 (K = F[y]/(g(y))) 和向量空间同构 (\phi: K \to F^n)。取两个 HFE 多项式 (F(X)) 和 (\tilde{F}(X))：
- (F(X) = \sum a_{ij}X