31、纠缠模型：从线性到深度生成模型的探索

纠缠模型：从线性到深度生成模型的探索

在机器学习领域，纠缠模型是一类用于处理复杂数据结构和关系的重要模型。本文将深入探讨不同类型的纠缠模型，包括线性高斯模型、非高斯模型以及深度生成模型，并详细介绍它们的原理、应用和学习方法。

1. 线性高斯模型

线性高斯模型是纠缠模型的基础，其中包括概率主成分分析（Probabilistic PCA）和因子分析（Factor Analysis）。

1.1 概率主成分分析（Probabilistic PCA）

概率主成分分析是传统主成分分析（PCA）的随机扩展。对于任意 $n \times n$ 旋转矩阵 $R$，有 $RR^⊺ = I$，这使得在 $WW^⊺$ 中 $R$ 被抵消，从而任何 $R$ 都会导致式 (13.6) 中的似然值相同。最大似然估计（MLE）的 $\sigma^2$ 计算公式为：
$\sigma^2_{MLE} = \frac{1}{d - n} \sum_{j=n+1}^{d} \lambda_j$
在这种设定下，$W_{MLE}$ 的估计不是唯一的，因为可以选择任意旋转矩阵 $R$。当 $R = I$ 时，$W_{MLE}$ 的列向量对应于标准 PCA 过程中的前 $n$ 个主成分，并通过方差参数 $\lambda_j - \sigma^2_{MLE}$ 进行缩放。概率主成分分析可以看作是一种生成模型，它允许对 PCA 进行正式处理，并且可以像其他生成模型一样构建更高级的模型，如 Tipping 和 Bishop 提出的概率主成分分析混合模型。

在概率主成分分析模型中，为了进行解纠缠，可以将式 (13.3) 中的条件分布明确表示为以下高斯分布：
$p