概率问题与贝叶斯推理示例解析

最新推荐文章于 2025-11-01 13:59:41 发布

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#概率 # 贝叶斯公式 # 邦弗朗尼不等式

22、证明邦弗朗尼不等式 p(a, b) ≥ p(a) + p(b) - 1

根据概率的基本性质来证明。

因为
$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A, B) $$
且
$$ P(A \cup B) \leq 1 $$

所以
$$ P(A) + P(B) - P(A, B) \leq 1 $$

移项可得
$$ P(A, B) \geq P(A) + P(B) - 1 $$

23、有两个盒子。盒子1中有3个红球和5个白球，盒子2中有2个红球和5个白球。随机选择一个盒子，选到盒子1和盒子2的概率均为0.5，从所选盒子中随机取出一个球，结果是红球。那么这个红球来自盒子1的后验概率是多少？

可根据贝叶斯公式计算。设事件A为选到盒子1，事件B为取出红球。

已知：

$ P(A) = 0.5 $
$ P(\neg A) = 0.5 $
$ P(B|A) = \frac{3}{8} $
$ P(B|\neg A) = \frac{2}{7} $

根据贝叶斯公式：

$$
P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A) + P(B|\neg A)P(\neg A)}
$$

代入已知值：

$$
P(A|B) = \frac{\frac{3}{8} \times 0.5}{\left( \frac{3}{8} \times 0.5 \right) + \left( \frac{2}{7} \times 0.5 \right)} = \frac{3/16}{3/16 + 1/7}
$$

通分并计算：

$$
P(A|B) = \frac{21}{37}
$$

所以这个红球来自盒子1的后验概率是 $ \frac{21}{37} $。

24、证明 p(a, (b 或 c)) = p(a, b) + p(a, c) - p(a, b, c)

根据概率的基本性质，事件 “ a 且 (b 或 c) ” 等价于事件 “ (a 且 b) 或 (a 且 c) “。

由概率的加法公式，对于任意两个事件 X 和 Y ，有：

$$
P(X\ 或\ Y) = P(X) + P(Y) - P(X\ 且\ Y)
$$

令
- $ X = a\ 且\ b $
- $ Y = a\ 且\ c $

则有：

$$
p(a,\ (b\ 或\ c)) = p((a\ 且\ b)\ 或\ (a\ 且\ c)) = p(a,\ b) + p(a,\ c) - p(a,\ b,\ c)
$$

25、证明 p(x|z) = ∑y p(x|y, z)p(y|z) = ∑y,w p(x|w, y, z)p(w|y, z)p(y|z)

证明如下：

证明 $ p(x|z) = \sum_y p(x|y, z)p(y|z) $：

根据全概率公式和条件概率定义，
$$
p(x,z) = \sum_y p(x,y,z)
$$
又因为
$$
p(x,y,z) = p(x|y,z)p(y,z)
$$
且
$$
p(y,z) = p(y|z)p(z)
$$
所以
$$
p(x,z) = \sum_y p(x|y,z)p(y|z)p(z)
$$
则
$$
p(x|z) = \frac{p(x,z)}{p(z)} = \sum_y p(x|y,z)p(y|z)
$$

证明 $ p(x|z) = \sum_{y,w} p(x|w, y, z)p(w|y, z)p(y|z) $：

同样根据全概率公式和条件概率定义，
$$
p(x,z) = \sum_{y,w} p(x,y,w,z)
$$
而
$$
p(x,y,w,z) = p(x|w,y,z)p(w|y,z)p(y,z)
$$
且
$$
p(y,z) = p(y|z)p(z)
$$
所以
$$
p(x,z) = \sum_{y,w} p(x|w,y,z)p(w|y,z)p(y|z)p(z)
$$
进而
$$
p(x|z) = \frac{p(x,z)}{p(z)} = \sum_{y,w} p(x|w,y,z)p(w|y,z)p(y|z)
$$