第5章 定积分

第一节 定积分的概念与性质

1. 定积分定义
   
   • $\color{blue}{定义}$ 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，在 $[a,b]$ 中任意插入若干个分点 $$a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b$$ 把区间 $[a,b]$ 分成 $n$ 个小区间 $$[x_0,x_1],[x_1,x_2],\cdots ,[x_{n-1},x_n]$$ 各个小区间长度依次为 $$\Delta x_1=x_1-x_0,\Delta x_2=x_2-x_1,\cdots ,\Delta x_n=x_n-x_{n-1}$$ 在每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上任取一点 $\xi _i\;(x_{i-1}\le \xi _i \le x_i)$，作函数值 $f(\xi _i)$ 与小区间长度 $\Delta x_i$ 的乘积 $f(\xi _i)\Delta x_i\;(i=1,2,cdots,n)$，并作出和 $$S=\sum_{i=1}^n f(\xi _i)\Delta x_i$$ 记 $\lambda =max\{\Delta x_1,\Delta x_2,\cdots ,\Delta x_n\}$，如果不论对 $[a,b]$ 怎样划分，也不论在小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上点 $\xi _i$ 怎样选取，只要当 $\lambda \rightarrow 0$ 时，和 $S$ 总趋于确定的极限 $I$，那么称这个极限 $I$ 为函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的定积分(简称积分)，记作 $\int^b_a f(x)dx$，即 $$\int^b_a f(x)dx=I=\lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f(\xi _i)\Delta x_i$$ 其中 $f(x)$ 叫做被积函数，$f(x)dx$ 被积表达式，$x$ 叫做积分变量，$a$ 叫做积分下限，$b$ 叫做积分上限，$[a,b]$ 叫做积分区间。
   • $\color{blue}{定理 1}$ 设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积。
   • $\color{blue}{定理 2}$ 设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有界，且只有有限个间断点，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积。
2. 定积分的性质
   
   • $\color{blue}{补充规定}$
   • (1) 当 $a=b$ 时， $\int ^b_a f(x)dx=0$
   • (2) 当 $a>b$ 时， $\int ^b_a f(x)dx=-\int ^a_b f(x)dx$
   • $\color{blue}{性质 1}$ $\int ^b_a [f(x)\pm g(x)]dx=\int ^b_a f(x)dx \pm \int ^b_a g(x)dx$
   • $\color{blue}{性质 2}$ $\int ^b_a kf(x)dx=k\int ^b_a f(x)dx\;\text{k 是常数}$
   • $\color{blue}{性质 3}$ 设 $a<c<b$，则 $$\int ^b_a f(x)dx=\int ^c_a f(x)dx+\int ^b_c f(x)dx$$
   • $\color{blue}{性质 4}$ 如果在区间 $[a,b]$ 上 $f(x)\equiv 1$，则 $$\int ^b_a 1dx=\int ^b_a dx=b-a$$
   • $\color{blue}{性质 5}$ 如果在区间 $[a,b]$ 上，$f(x)/ge 0$，则 $$\int ^b_a f(x)dx\ge 0\;(a<b)$$
   • $\color{blue}{性质 5\;推论1}$ 如果在区间 $[a,b]$ 上，$f(x)\le g(x)$，则 $$\int ^b_a f(x)dx\le \int ^b_a g(x)dx\;(a<b)$$
   • $\color{blue}{性质 5\;推论2}$ $$\Bigl|\int ^b_a f(x)dx\Bigr|\le \int ^b_a \bigl|f(x)\bigr|dx \;(a<b)$$
   • $\color{blue}{性质 6}$ 设 $M$ 及 $m$ 分别是函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的最大值及最小值，则 $$m(b-a)\le \int ^b_a f(x)dx\le M(b-a)\;(a<b)$$
   • $\color{blue}{性质 7\;(定积分中值定理)}$ 如果函数 $f(x)$ 在积分区间 $[a,b]$ 上连续，则在 $[a,b]$ 上至少存在一个点 $\xi$，使下式成立 $$\int ^b_a f(x)dx=f(\xi)(b-a)\;(a\le \xi \le b)$$

第二节 微积分基本公式

1. 积分上限的函数及其导数
   
   • $\color{blue}{定理 1}$ 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$上连续，则积分上限的函数 $$\Phi(x)=\int ^x_a f(t)dt$$ 在 $[a,b]$ 上可导，并且它的导数 $$\Phi ^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}\int ^x_a f(t)dt=f(x)\;(a\le x \le b)$$
   • $\color{blue}{定理 2}$ 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$上连续，则积分上限的函数 $$\Phi(x)=\int ^x_a f(t)dt$$ 就是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的一个原函数。
2. 牛顿-莱布尼茨公式
   
   • $\color{#F85}{定理 3\;(微积分的基本公式)}$ 如果函数 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的一个原函数，则 $$\int ^b_a f(x)dx=F(b)-F(a)$$

第三节 定积分的换元法和分部积分法

1. 定积分的换元法
   
   • $\color{blue}{定理}$ 假设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，函数 $x=\varphi(t)$ 满足条件
   • (1) $\varphi(\alpha)=a,\; \varphi(\beta)=b$
   • (2) $\varphi(t) 在 [\alpha,beta]$ (或 $[\beta,\alpha]$ )上具有连续导数，且其值域 $R_\varphi=[a,b]$，则有 $$\int^b_a f(x)dx=\int^\beta_\alpha f[\varphi(t)]\varphi^\prime(t)dt$$
2. 定积分的分部积分法

第四节 反常积分

1. 无穷限的反常积分
   
   • $\color{blue}{定义1}$ 设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,+\infty)$ 上连续，取 $t>a$，如果极限 $$\lim_{t\rightarrow +\infty}\int^t_a f(x)dx$$ 存在，则称此极限为函数 $f(x)$ 在无穷区间 $[a,+\infty)$ 上的反常积分，记作 $\int^{+\infty}_a f(x)dx$，即 $$f^{+\infty}_a f(x)dx=\lim_{t\rightarrow+\infty}\int^t_a f(x)dx$$ ，这时也成反常积分 $\int^{+\infty}_a f(x)dx$ 收敛；如果上述极限不存在，则函数 $f(x)$ 在无穷区间 $[a,+\infty)$ 上的反常积分 $\int^{+\infty}_a f(x)dx$ 就没有意义，习惯上称为反常积分 $\int^{+\infty}_a f(x)dx$ 发散，这时几号 $\int^{+\infty}_a f(x)dx$ 不再表示数值了。类似地，设函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,b]$ 上连续，取 $t<b$，如果极限 $$\lim_{t\rightarrow -\infty} \int^b_t f(x)dx$$ 存在，则称此极限为函数 $f(x)$ 在无穷区间 $(-\infty,b]$ 上的反常积分，记作 $\int^b_{-\infty} f(x)dx$，即 $$\int^b_{-\infty} f(x)dx=\lim_{t\rightarrow -\infty} \int^b_t f(x)dx$$ 这时也成反常积分 $\int^b_{-\infty} f(x)dx$ 收敛；如果上述极限不存在，则称反常积分 $\int^b_{-\infty} f(x)dx$ 发散。设函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，如果反常积分 $$\int^0_{-\infty} f(x)dx\;\int^{+\infty}_0 f(x)dx$$ 都收敛，则称上述两反常积分之和为函数 $f(x)$ 在无穷区间 $(-\infty,+\infty)$ 上的反常积分，记作 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx$，即 $$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx=\int_{-\infty}^0 f(x)dx+\int_0^{+\infty} f(x)dx=\lim_{t_\rightarrow -\infty}\int_t^0 f(x)dx+\lim_{t_\rightarrow +\infty}\int_0^t f(x)dx$$ 这时也称反常积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx$ 收敛；否则就称反常积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx$ 发散。
2. 无界函数的反常积分

第五节 反常积分的审敛法 $\Gamma$ 函数

1. 无穷限反常积分的审敛法
2. 无界函数的反常积分的审敛法
3. $\Gamma$ 函数