背包问题

• 多阶段动态规划问题：有一类动态规划可解的问题，它可以描述成若干个有序的阶段，且每个阶段的状态有关，一般把这类问题称为多阶段动态规划问题

01背包问题

• 有n件物品，每件物品的重量为w[i]，价值为c[i]。现有一个重量为V的背包，问如何选取物品放入背包，使得背包内物品的总价值最大。其中每种物品只有1件
• dp[i][j]表示前i件物品恰好装入容量为j的背包所能获得的最大价值
  • 不放第i件物品，则dp[i][j] = dp[i-1][j]
  • 放第i件物品，那么问题转化为前i – 1件物品恰好装入容量j – w[i]的背包中所能获得的最大价值dp[i-1][j-w[i]] + c[i]
• 递推方程dp[i][j] = max{ dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+c[i] }

• for(int i = 1; i <= n; i++) {
  	for(int j = 1, j <= v; j++)
  		if(j < w[i])
  			dp[i][j] = dp[i-1][j];
  		else
  			dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + c[i]);
  }

  for(int i = 1; i <= n; i++) {
  	for(int j = v; j >= w[i]; j--)
  		dp[v] = max(dp[v], dp[v[w[i]]] + c[i]);
  }