随机变量分析

随机变量笔记

随机变量：首先有一点必须要弄清楚，随机变量是一个函数，一个确定的函数。并不像编程语言中的那些变量。这个函数是从样本空间到实数域的一个映射。举两个列子。

 赋予实验结果a一个数，记为X（a）：

（1） 在掷骰子的游戏中，可能的实验结果有六种，记为$f_i$。赋予每个实验结果一个量$f_i=10\ast i$，也即$f_1$=10等等。
（2） 同样的实验中，我们赋予奇数为1，偶数为0。也就再次的到了一组随机变量。
具体的定义为：随机变量$X$是对指定一个数$a$，$X（a）$的过程。

分布函数和概率密度函数

在集合$S$中，组成事件{X≤x}\lbrace X\leq x \rbrace{X≤x}的元素随$x$的取值不同而变化。事件{X≤x}\lbrace X\leq x \rbrace{X≤x}的概率P{X≤x}P\lbrace X\leq x \rbraceP{X≤x}是依赖$x$的一个数。这个数表示为$F_x(x)$并称它为变量$x$的分布函数。
定义：随机变量$x$的分布函数F(x)=P{X≤x}F_(x) =P\lbrace X\leq x \rbraceF(​x)=P{X≤x}
是定义在$-\infty$到$+\infty$上的函数。
列1:在抛硬币的实验中，出现正面（h）的概率等于P，出现反面（t）的概率为q我们定义随机变量$X$满足$$X(h)=1$$$$X(t)=0$$
求该随机变量的分布函数$F(x)$，其中$xϵ(-\infty ，+\infty )$
若$x\ge 1$，则$X(h)=1\le$$x$,$分布函数F(x)$的概率为1
其余两种情况分类讨论即可。

分布函数的性质

1. $F(+\infty )$=1
2. $F(+\infty )$=0
3. 它是$x$的非降函数
4. 如果$F(x_0)=0$,那么对于每个$x\le$$x_0$，$F(x)=0$
5. P{X>x}=1−F(x)P\{X>x\}=1-F(x)P{X>x}=1−F(x)
6. 函数$F(x)$是右连续的
7. $P(x_1<X\le$$x_2)=F(x_2)-F(x_1)$

概率密度函数

定义：一个随机变量$X$的分布函数$F(x)$的导数称为该随机变量的概率密度函数，记为：$f_x(x)$，也就是说$$f_x=\frac{d{F}_x(x)}{dx}$$
从分布函数$F_x(x)$的单调非减性，概率密度函数满足：$\forall$ $x\in (-\infty ,+\infty )$ $$f_x=\frac{d{F}_x(x)}{dx}=\underset{\Delta x\to \infty }{\lim }\frac{F_x(x+\Delta x)-F_x(x)}{\Delta x}\ge 0$$