MIT线性代数笔记-第6讲-列空间和零空间

6.列空间和零空间

列空间（通过某些向量的线性组合构建子空间）

列空间：某矩阵所有列向量的所有线性组合的集合，矩阵$A$的列空间记作$C(A)$

例： 已知矩阵$A\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 1& 3\\ 3& 1& 4\\ 4& 1& 5\end{array}\right]$的列空间是$R^4$的子空间，但三个列向量的线性组合无法覆盖整个$R^4$，只能得到一个平面

  联系线性方程组得：$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 1& 3\\ 3& 1& 4\\ 4& 1& 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\\ b_4\end{array}\right]$，即$A\vec{x}=\vec{b}$，并不是$\vec{b}$取任意值，$\vec{x}$都有解，当$\vec{b}\in C(A)$时，方 程组有解，否则无解

  联系线性方程组时行数表示方程数，列数表示未知数数

  这三个列向量并非线性无关，第三个列向量为前两个的和，因而其对线性组合无贡献，有贡献的两列称为主列

  选取主列时，一般考虑从左往右最少的几个，即最靠前的极大线性无关组

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零空间（通过方程组的解的集合构建子空间）

零空间：已知$A$，使$A\vec{x}=\vec{0}$的所有$\vec{x}$的集合，矩阵$A$的零空间记作$N(A)$

例：$\begin{array}{cccc}\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 1& 3\\ 3& 1& 4\\ 4& 1& 5\end{array}\right]& \left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]& =& \left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]\\ A& \vec{x}& & \vec{b}\end{array}$，零空间满足$\vec{x}=\left[\begin{array}{c}c\\ c\\ -c\end{array}\right](c\in R)$

1. 无论$A$如何，其零空间必然包含$\vec{0}$

2. 零空间一定是向量空间

   证明： 已知$A\vec{x}=\vec{0}$的两个解$\vec{v},\vec{w}$，则$A(\vec{v}+\vec{w})=A\vec{v}+A\vec{w}=\vec{0},A(n\vec{v})=nA\vec{v}=n\vec{0}=\vec{0},n\in R$

3. 思考： 对于任意的非零向量$\vec{b}$，$A\vec{x}=\vec{b}$的解的集合是否都是向量空间

   不是，因为集合中不一定有零向量

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