MIT线性代数笔记-第7讲-求解Ax=0：主变量、特解_主元列是对于原矩阵还是消元后的矩阵-优快云博客

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本文详细解释了矩阵消元的过程，说明了秩的定义与计算方法，以及主元、特解和自由变量的概念。消元后矩阵的秩反映了有贡献方程的数量，主元所在的列是主变量。特解与自由变量的性质决定了矩阵的零空间和通解的构造。

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7.求解 $A\vec{x} = \vec{0}$ ：主变量、特解

消元即将矩阵化为行阶梯形式
秩：列极大线性无关组的元素数，即矩阵消元后的主元个数，即方程组中的有贡献方程数，记作 $r$

证明秩即为行极大线性无关组的元素数：

消元前后方程表示关系本质相同，有贡献方程数不变，而秩即为主元数即为消元后有贡献方程数，因而秩即为消元前有贡献方程数，即为行极大线性无关组的元素数

证明转置前后秩不变：

由上知：行极大线性无关组的元素数 $=$ 列极大线性无关组的元素数，而转置将行列互换，因而秩不变

证明矩阵 $C = A B$ 的秩小于或等于 $A$ 的秩且小于或等于 $B$ 的秩：

$C$ 中的各列均相当于 $A$ 中各列的线性组合，但组合后可能列空间维数下降，因而秩减小， $B$ 同理
消元时矩阵的零空间不会变，列空间会变，因为零空间相当于解，消元不会对解产生影响
$A, U$ 中对应列的线性关系一致：

证明： 假设 $\overrightarrow{col\ i\ of\ A} = a_1\overrightarrow{col\ i_1\ of\ A} + a_2\overrightarrow{col\ i_2\ of\ A} + \cdots$

则 $\forall j \in [1,m] , A_{j,i} = a_1 A_{j,i_1} + a_2 A_{j,i_2} + \cdots$

又消元时只对行进行操作，假设某步操作时 $row\ p$ 变为 $row\ p - o*row\ q$

$\begin{aligned} \therefore U'_{p,i} & = U_{p,i} - o*U_{q,i} \\ & = a_1 U_{p,i_1} + a_2 U_{p,i_2} + \cdots - o*(a_1 U_{q,i_1} + a_2 U_{q,i_2} + \cdots) \\ & = a_1 U'_{p,i_1} + a_2 U'_{p,i_2} + \cdots \end{aligned}$

每次操作后线性关系不变，得证
主列：矩阵消元后主元所在的列，对应变量称为主变量

证明原矩阵的消元后主元所在列构成最靠前的列极大线性无关组：

设原矩阵为 $A$ ， $A$ 消元后得到的矩阵为 $C$ ， $C$ 中主元所在列分别为 $\vec{b}_1 , \vec{b}_2 , \cdots$ ，其组成一个新矩阵

$\begin{bmatrix} | & | & | \\ \vec{b}_1 & \vec{b}_2 & \cdots \\ | & | & | \end{bmatrix}$

易得 $\vec{b}_1 , \vec{b}_2 , \cdots$ 中每列末尾连续零个数互不相同，因而互相线性无关

$\therefore B \vec{x} = \vec{0}$ 的解只有零向量，即 $B$ 的零空间为零向量

又消元过程中自由列对其他列无影响，即 $A$ 中主元所在列组成的矩阵消元后即可得到 $B$

$\therefore A$ 中主元所在列组成的矩阵零空间为零向量，“线性无关”得证

若在 $B$ 中加入任意一个 $C$ 中的自由列，则其末尾连续零个数一定与某个主元所在列一致

①若这两列均只有一个非零元素，二者可以互相表示，线性相关

②若这两列不止有一个非零元素，二者线性组合后一定能得到新的末尾连续零个数增多的一列，这一列与其末尾连续零个数一致的另一列线性组合后又能得到新的末尾连续零个数增多的一列，以此类推最终定能得到只有零元素的一列，得到它所用的两列成比例关系，线性相关

$\therefore$ 综上，无法在 $B$ 中添加任何自由列

$\color{OrangeRed}“极大”与“最靠前”暂时不会证明$
自由列：矩阵消元后非主元所在列，对应变量称为自由变量

证明自由变量可任意选取：

可以将 $U$ 的每一列视为一个 $r$ 维向量（即使 $U$ 末尾有若干行 $0$ ，对于 $\forall \vec{x}$ ， $\vec{x}$ 末尾都至少有这么多行 $0$ ）

主列末尾的 $0$ 个数互不相同，可以构成一组基底

这样无论自由列如何线性组合（即无论自由变量选取多少），主列线性组合后，总能与自由列线性组合的结果相加得到 $\vec{0}$

若主列任意线性组合，最后不一定可以得到 $\vec{0}$
特解与通解

先消元得到行阶梯形式矩阵 $U$ ，再挨个将每个自由变量赋值为 $1$ （同时其它自由变量赋值为 $0$ ），分别带入并表示为方程组形式，得到 $n - r$ 个特解，这些特解的所有线性组合即为通解（即将所有特解视为一组基底）

这些特解构成基础解系

证明特解数即为自由列数：

对于有 $n$ 个未知数的方程组，可将未知数的组合视为一个从原点出发的 $n$ 维向量，每有一个有贡献的方程就可以将可行解得到的向量的终点覆盖的范围降低一维。而对于 $k$ 维空间，一组基底应由 $k$ 个向量组成，因而可行解得到的向量的终点覆盖的范围的基底应由“未知数数 $-$ 有贡献方程数”个向量组成，所以当 $A$ 的秩为 $r$ ，即方程组中有 $r$ 个有贡献的方程时，所需特解应有 $n - r$ 个，得证

证明该种求特解方式所得特解线性无关（即可构成基底）：

只看每个特解中自由变量部分，易得其线性无关，因而特解互相也线性无关
简化行阶梯形式（ $rre f$ ），记作 $R$

①将矩阵向上消元（类似高斯-诺尔丹消元），得到每个主列只有主元一个非零元素的矩阵

②将每行除以主元，使主元为 $1$

这个形式可以当成一般的 $U$ 使用，在该形式中除去末尾几行的 $0$ ，将自由列提出，组合记作 $F$ ，将主列提出，即得到单位矩阵（ $I$ ）
零空间矩阵

将 $R$ 进行一些列置换，得到 $\begin{matrix} \ r\ \ \ \ n-r \\ \overbrace{\begin{bmatrix} I & F \\ O & O \end{bmatrix}} \bigg\} \end{matrix} \begin{matrix} \\ r \\ m-r \end{matrix}$ （下方的 $O$ 可能不存在）

求一个矩阵 $N$ 使得 $N$ 中每一列都是一个特解，且这些特解线性无关，则 $N$ 即为零空间矩阵

实际上， $\begin{bmatrix} -F \\ I \end{bmatrix} \bigg\} \begin{matrix} r \\ n-r \end{matrix}$

证明： 有 $\begin{bmatrix} I & F \\ O & O \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -F \\ I \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} O \\ O \end{bmatrix}$

又 $N$ 下方的 $I$ 契合“挨个将每个自由变量赋值为 $1$ （同时其它自由变量赋值为 $0$ ）”

因而 $\begin{bmatrix} -F \\ I \end{bmatrix}$

将 $R$ 还原，同时将 $N$ 进行行置换以保证 $R$ 中的列与 $N$ 中的行对应关系不变，得到的 $N$ 的列的线性组合即为通解