7.求解 A x ⃗ = 0 ⃗ A\vec{x} = \vec{0} Ax=0：主变量、特解
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消元即将矩阵化为行阶梯形式
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秩：列极大线性无关组的元素数，即矩阵消元后的主元个数，即方程组中的有贡献方程数，记作 r r r
证明秩即为行极大线性无关组的元素数：
消元前后方程表示关系本质相同，有贡献方程数不变，而秩即为主元数即为消元后有贡献方程数，因而秩即为消元前有贡献方程数，即为行极大线性无关组的元素数
证明转置前后秩不变：
由上知：行极大线性无关组的元素数 = = =列极大线性无关组的元素数，而转置将行列互换，因而秩不变
证明矩阵 C = A B C = AB C=AB的秩小于或等于 A A A的秩且小于或等于 B B B的秩：
C C C中的各列均相当于 A A A中各列的线性组合，但组合后可能列空间维数下降，因而秩减小， B B B同理
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消元时矩阵的零空间不会变，列空间会变，因为零空间相当于解，消元不会对解产生影响
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A , U A , U A,U中对应列的线性关系一致：
证明： 假设 c o l i o f A → = a 1 c o l i 1 o f A → + a 2 c o l i 2 o f A → + ⋯ \overrightarrow{col\ i\ of\ A} = a_1\overrightarrow{col\ i_1\ of\ A} + a_2\overrightarrow{col\ i_2\ of\ A} + \cdots col i of A=a1col i1 of A+a2col i2 of A+⋯
则 ∀ j ∈ [ 1 , m ] , A j , i = a 1 A j , i 1 + a 2 A j , i 2 + ⋯ \forall j \in [1,m] , A_{j,i} = a_1 A_{j,i_1} + a_2 A_{j,i_2} + \cdots ∀j∈[1,m],Aj,i=a1Aj,i1+a2Aj,i2+
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