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5.转置，置换，向量空间
置换
置换矩阵：用于完成行互换的矩阵，即行重新排列了的单位矩阵，记作 P P P，单位矩阵也属于一种置换矩阵
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所有置换矩阵均可逆
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n n n阶置换矩阵共有 n ! n! n!个
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置换矩阵的逆矩阵与其转置一致
证明： P T P^T PT的列与 P P P的行对应相等，而 P T P P^{T} P PTP等于对应行列相乘的叠加，挨个考虑每对行列相乘的结果不难得到单 位矩阵，因而 P T = P − 1 P^T = P^{-1} PT=P−1
转置
主对角线：方阵中从左上至右下的对角线
转置的公式表示为 a i , j T = a j , i a^T_{i,j} = a_{j,i} ai,jT=aj,i
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矩阵转置前后可逆性不变，因为可逆性考虑的是矩阵各行/列是否线性相关，而该点在转置前后一致
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A T B = B T A A^T B = B^T A ATB=BTA
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( A B ) T = B T A T (AB)^T = B^T A^T (AB)T=BTAT
证明： 设 A B = C AB = C AB=C
c i , j T = c j , i = r o w j o f A → ⋅ c o l u m n i o f B → = c o l u m n j o f A T → ⋅ r o w i o f B T → c^T_{i,j} = c_{j,i} = \overrightarrow{row\ j\ of\ A} \cdot \overrightarrow{column\ i\ of\ B} = \overrightarrow{column\ j\ of\ A^T} \cdot \overrightarrow{row\ i\ of\ B^T} ci,jT=cj,i=row j of A⋅column i of B=column j o
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