出处不详 凸多边形最优三角剖分

出处不详 凸多边形最优三角剖分

题目描述

背景

给定$n$边凸多边形，要求确定该凸多边形的三角剖分（将多边形分割成$n-2$个三角形），使得该三角剖分中诸三角形的权值和最小（三角形的权值等于三条边权值相加）

输入

1. 第一行一个整数$n$，表示凸多边形的边数；
2. 接下来$n$行，其中第$i$行输入$n-i+1$个数，第$j$个数表示顶点$i$到顶点$i+j-1$的边或弦的权值

输出

一个整数，表示最小权值和

数据范围

$3\le n\le 8$

题解

假设弦$(i,j)$必须连接（不妨令$i<j$），考虑它与它某一侧围成的多边形（不妨取顶点编号在$i,j$之间的那一侧），设为$A_{i,j}$，在$A_{i,j}$中，弦$(i,j)$一定参与且仅参与构成了一个三角形，因为已知三角形的两个顶点$i,j$，所以枚举这个三角形时只需要枚举剩下的那个顶点，设为$k$（$i<k<j$）
定义二维数组$f,val$，$f[i][j]$表示$A_{i,j}$的最优三角剖分权值和，$val[i][j]$表示边或弦$(i,j)$的权值（$i<j$），则状态转移方程为$f[i][j]=\min (f[i][j],f[i][k]+f[k][j]+val[i][k]+val[k][j]+val[i][j])$
考虑一开始弦$(i,j)$的极端情况，即边$(i,j)$，这样最后的答案就变成了$f[1][n]$
代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>

#define il inline

const int M = 1e2 + 5;

il int read() {
    int x = 0;
    char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') c = getchar();
    while(c >= '0' && c <= '9') x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48), c = getchar();
    return x;
}

int n, val[M][M], f[M][M];

il int getL(int a, int b, int c) {     //求三个顶点所围三角形的权值
    return val[a][b] + val[b][c] + val[a][c];
}

int main() {
    n = read();
    memset(f, 0x7f, sizeof(f));
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        for(int j = i; j <= n; ++j)
            val[i][j] = read();
        f[i][i + 1] = 0;     //防止更新时出错
    }
    for(int i = n - 2; i > 0; --i) {     //因为前面的要用后面的，所以i从后往前枚举
        for(int j = i + 2; j <= n; ++j)     //A_{i , j}至少要是一个三角形
            for(int k = i + 1; k < j; ++k) {
                int tmp = f[i][k] + f[k][j] + getL(i, k, j);
                if(tmp < f[i][j]) f[i][j] = tmp;
            }
    }
    printf("%d", f[1][n]);
    return 0;
}