欧拉函数（数论） + 唯一分解定理

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本文介绍了欧拉函数的定义及计算方法，并通过一个具体的编程实例展示了如何使用欧拉函数解决实际问题。此外，还详细解释了唯一分解定理的概念及其在计算正整数的因子个数等方面的应用。

欧拉函数

初步认识：

在数论，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1）。此函数以其首名研究者欧拉命名(Euler's totient function)，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格1.

通式：

其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。

φ(1)=1（和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。

注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4

若n是质数p的k次幂，

，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值

φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。

欧拉函数是积性函数——若m,n互质，

特殊性质：当n为奇数时，

, 证明与上述类似。

若n为质数则

对于素数p, φ(p)=p-1，对于对两个素数p,q φ（pq）=pq-1朗日定理构成了欧拉定理的证明。

求法模板：

int ou_lar( )
{
int i , j, k;
memset( enlur, 0, sizeof( enlur ));
memset( visit , 0, sizeof( visit ));
visit[1] = 1;
enlur[1] = 0;
for( i = 2; i<=1000005; i++)
{
if( !enlur[i] )
{
visit[i] = 1;
enlur[i] = i-1;
for( j = 2*i; j <= 1000005; j = j+i)
{
if( !visit[j] )
{
enlur[j] = j;
visit[j] = 1;
}
enlur[j] = enlur[j]/i*( i-1 );
}
}
}
}

例题跟踪：

A - Bi-shoe and Phi-shoe

LightOJ - 1370

Bamboo Pole-vault is a massively popular sport in Xzhiland. And Master Phi-shoe is a very popular coach for his success. He needs some bamboos for his students, so he asked his assistant Bi-Shoe to go to the market and buy them. Plenty of Bamboos of all possible integer lengths (yes!) are available in the market. According to Xzhila tradition,

Score of a bamboo = Φ (bamboo's length)

(Xzhilans are really fond of number theory). For your information, Φ (n) = numbers less than n which are relatively prime (having no common divisor other than 1) to n. So, score of a bamboo of length 9 is 6 as 1, 2, 4, 5, 7, 8 are relatively prime to 9.

The assistant Bi-shoe has to buy one bamboo for each student. As a twist, each pole-vault student of Phi-shoe has a lucky number. Bi-shoe wants to buy bamboos such that each of them gets a bamboo with a score greater than or equal to his/her lucky number. Bi-shoe wants to minimize the total amount of money spent for buying the bamboos. One unit of bamboo costs 1 Xukha. Help him.

Input

Input starts with an integer T (≤ 100), denoting the number of test cases.

Each case starts with a line containing an integer n (1 ≤ n ≤ 10000) denoting the number of students of Phi-shoe. The next line contains n space separated integers denoting the lucky numbers for the students. Each lucky number will lie in the range [1, 106].

Output

For each case, print the case number and the minimum possible money spent for buying the bamboos. See the samples for details.

Sample Input

1 2 3 4 5

10 11 12 13 14 15

1 1

Sample Output

Case 1: 22 Xukha

Case 2: 88 Xukha

Case 3: 4 Xukha

/////互质即只有公因数1；若n为素数则欧拉值即为 n-1

/题意竹子长度为k 得分为小于等于k并且与k互质的数的个数
///即为欧拉函数的值，现在给定n个幸运数字要求所买竹子的得分必须大于等于
///对应的数字并且单位长度为1元求最小花费

///思路 : 欧拉函数打表，要想得分大于等于n 则竹子长度必须大于等于n
///即逐渐找欧拉函数值大于n的相加

///tip; 本题是小于n的与n互质的个数所以1时为0 其余不变

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<map>
#include<algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
int enlur[1000005];
int visit[1000005];
int ou_lar( )
{
int i , j, k;
memset( enlur, 0, sizeof( enlur ));
memset( visit , 0, sizeof( visit ));
visit[1] = 1;
enlur[1] = 0;
for( i = 2; i<=1000005; i++)
{
if( !enlur[i] )
{
visit[i] = 1;
enlur[i] = i-1;
for( j = 2*i; j <= 1000005; j = j+i)
{
if( !visit[j] ) 以便赋初值
{
enlur[j] = j;
visit[j] = 1;
}
enlur[j] = enlur[j]/i*( i-1 );
}
}
}
}

int main()
{
int t;
ou_lar();
scanf("%d", &t);
int cn = 1;
int n , m;
int i , j;
while( t-- )
{
long long int sum = 0;
scanf("%d", &n);
for( i = 0; i<n; i++)
{
scanf("%d", &m);
for( j = m; j; j++)
{
if( enlur[j] >= m )
{
sum = sum + j;
break;
}
}
}
printf("Case %d: %lld Xukha\n", cn++, sum);
}
return 0;
}

唯一分解定理

算术基本定理（唯一分解定理）

一句话：
　　　

认识：　
任何大于１的自然数，都可以唯一分解成有限个质数的乘积

例如对于大于1的自然数n，
来自维基百科
这里P均为质数，其指数a是正整数。
这样的分解称为的标准分解式。

唯一分解定理的基本应用：

① 一个大于1的正整数N，将其化成标准分解式N = p1^a1 * p2^a2 *....pn^an(例如24 = 2^3 * 3^1),那么N的正因数个数为σ1(N) = (a1+1)*(a2+1)*....(an+1)（因子各不相同）

（p1..pn为N的素因子，a1...an为各素数的幂）

② 所有正因数之和为σ2 = （1+p1+p1^2+...p1^a1）* (1+p2+p2^2+....p2^a2) * ..... *(1+pn+pn^2+.....pn^an);当σ2（N） = 2*N时称N为完全数，是否存在奇完全数，尚不明确

③ 利用算数基本定理可以重新定义a和b的最大公因子（a,b）和最小公倍数（a,b）， a*b= 最大公因子（a,b）* 最小公倍数（a,b）

唯一分解定理模板

typedef long long ll;
ll fac[10050], num;//素因数,素因数的个数
void init(ll n) {//唯一分解定理
    num = 0;
    ll cpy = n;
    int m = (int)sqrt(n + 0.5);
    for (int i = 2; i <= m; ++i) {
        if (cpy % i == 0) {
            fac[num++] = i;
            while (cpy % i == 0) cpy /= i;
        }
    }
    if (cpy > 1) fac[num++] = cpy;
}