欧拉函数（数论）

欧拉函数的定义：对正整数n，欧拉函数是小于等于n的数中与n互质的数的数目。
我们令f(n)为欧拉函数
(1).其中当n=1时，f(1)=1,没有任何实质的意义。
(2).特别的如果两个素数p和q,且n=pq,则f(n)=(p-1)(q-1);
(3).若n是质数p的k次幂，f(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1),因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
(4).f(n)称为n的欧拉函数值。
(5).欧拉函数是积性函数：若m,n互质，
f(mn)=f(n)f(m).
(6).当n为奇数时，f(2n)=f(n).
(7).若n为质数则f(n)=n-1。

以下是关于欧拉函数的代码

//线性打素数表，求欧拉值
#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MAXN=3000001;
int prime[MAXN];//保存素数
bool vis[MAXN];//初始化
int phi[MAXN];//欧拉函数
void Prime(int n)
{
    int cnt=0;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=2;i<n;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[cnt++]=i;
            phi[i]=i-1;// if p is prime,then phi[i]=i-1
        }
        for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<n;j++)
        {
            __int64 k=i*prime[j];
            vis[k]=1;
            if(i%prime[j]==0)//关键
            {
                phi[k]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else
            phi[k]=phi[i]*(prime[j]-1);

        }
    }
}
int main()
{
    int a,b;
    Prime(3000000);
    while(cin>>b)
    {
        cout<<phi[b]<<endl;
    }
}

//sqrt(n)的复杂度求欧拉值
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
int oula(int n)
{
    int rea=n;
    for(int i=2; i*i<=n; i++)
        if(n%i==0)//第一次找到的必为素因子
        {
            rea=rea-rea/i;
            do
                n/=i;//把该素因子全部约掉
            while(n%i==0);
        }
    if(n>1)
        rea=rea-rea/n;
    return rea;
}
int main()
{
 int n;
 while(~scanf("%d",&n))
 {
   printf("%d\n",oula(n));
 }
  return 0;
}

//求由a到b的欧拉总值
#include<iostream>  
#include<string>  
#include<cstring>  
using namespace std;  
const int MAXN=3000001;  
int prime[MAXN];//保存素数   
bool vis[MAXN];//初始化   
int phi[MAXN];//欧拉函数   
void Prime(int n)  
{  
    int cnt=0;  
    memset(vis,0,sizeof(vis));  
    for(int i=2;i<n;i++)  
    {  
        if(!vis[i])  
        {  
            prime[cnt++]=i;  
            phi[i]=i-1;// if p is prime,then phi[i]=i-1  
        }  
        for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<n;j++)  
        {  
            __int64 k=i*prime[j];  
            vis[k]=1;  
            if(i%prime[j]==0)//关键   
            {  
                phi[k]=phi[i]*prime[j];  
                break;  
            }  
            else  
            phi[k]=phi[i]*(prime[j]-1);  

        }  
    }  
}  
int main()  
{  
    int a,b;  
    Prime(3000000);  
    while(cin>>a>>b)  
    {  
        __int64 ans=0;  
        for(int i=a;i<=b;i++)  
        ans+=phi[i];  
        cout<<ans<<endl;  
    }  
}