分段加加速度优化算法的推导及实现

1. 引言

在自动驾驶领域，路径规划是一个核心问题，它需要计算出一条既安全又舒适的轨迹。分段加加速度优化算法（Piecewise Jerk Path Optimization Algorithm）是一种在Frenet坐标系下解决路径规划问题的有效方法。该算法通过将路径离散化，并优化每个离散点的位置、速度、加速度和加加速度，来生成一条平滑且符合运动学约束的轨迹。

2. 算法理论推导

2.1 问题定义

如下图所示：

在frenet坐标系下，$s$是沿着参考路径的距离，$l$是车辆相对于参考路径的横向偏移，给定$l$的上下边界，使用优化的思想，定义一个包括包含起点、平滑（舒适）、在上下边界内（安全）、靠近中心线和终点的代价函数，求解代价最小的最优轨迹。

对于优化问题，我们经常将其转换为二次规划（Quadratic Programming, QP）问题，因为QP问题有着成熟的理论和高效的算法。二次规划问题是一种特殊的优化问题，其目标函数是二次的，约束条件是线性的。二次规划问题的一般形式如下：

$$\begin{array}{rl}\text{minimize}& \frac{1}{2}{x}^{T}Px+q^{T}x\\ \text{subject to}& l\le Ax\le u\end{array}$$
通过将优化问题转换为QP问题，我们可以利用现有的优化算法和软件工具，以系统化和标准化的方式找到问题的最优解。

2.2 定义优化变量

为了在实际应用中有效地构建优化问题并评估约束条件的满足程度，分段加加速度优化算法采用了以下方法：将路径函数 $l(s)$依据空间参数 $s$进行离散化处理，以达到特定的分辨率 $\Delta s$。通过这些离散化的点，我们能够控制路径的形状，并对约束条件的满足情况进行近似评估。该方法的核心思想在于将一维函数 $l(s)$离散化至其二阶导数层面，并利用恒定的三阶导数项来“连接”连续的离散点。位置变量的三阶导数通常被称为加加速度（jerk），这也是“分段加加速度优化算法”名称的由来。通过这种方法，我们可以在优化问题中考虑到车辆的动态特性，同时简化问题的复杂性，使其可以通过数值优化技术来求解。

在frenet坐标系下，我们沿着$s$方向，以一定距离$\Delta s$将路径进行采样：
$$\begin{array}{r}\begin{array}{c}{l}_0\\ l_0^{{}^{\prime }}\\ l_0^{{}^{\prime \prime }}\end{array}\stackrel{\Delta s}{\to }\begin{array}{c}{l}_1\\ l_1^{{}^{\prime }}\\ l_1^{{}^{\prime \prime }}\end{array}\stackrel{\Delta s}{\to }\begin{array}{c}{l}_2\\ l_2^{{}^{\prime }}\\ l_2^{{}^{\prime \prime }}\end{array}\dots \begin{array}{c}{l}_{n-2}\\ l_{n-2}^{{}^{\prime }}\\ l_{n-2}^{{}^{\prime \prime }}\end{array}\stackrel{\Delta s}{\to }\begin{array}{c}{l}_{n-1}\\ l_{n-1}^{{}^{\prime }}\\ l_{n-1}^{{}^{\prime \prime }}\end{array}\end{array}$$

为了和QP的形式保持一致，我们使用$x$来表示$l$，因此，可以将优化变量定义为
$$\begin{array}{r}x={\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ x_1\\ ⋮\\ x_{n-1}\\ x_0^{{}^{\prime }}\\ x_1^{{}^{\prime }}\\ ⋮\\ x_{n-1}^{{}^{\prime }}\\ x_0^{{}^{\prime \prime }}\\ x_1^{{}^{\prime \prime }}\\ ⋮\\ x_{n-1}^{{}^{\prime \prime }}\end{array}\right]}_{3n\times 1}\end{array}$$

2.3 定义代价函数

代价函数 $J$ 通常由以下几个部分组成，以确保路径规划的安全性、舒适性和合规性：

1. 平滑代价：为了确保行驶的平稳性，我们希望最小化横向位移的变化率，其主要受 $x_i^{\prime }$、 $x_i^{\prime \prime }$ 和 $x_i^{\prime \prime \prime }$ 的影响。

2. 道路中心线贴近代价：为了遵守交通规则，我们希望轨迹尽可能地靠近道路中心线，这通过路径偏移量 $x_i$ 来衡量。

3. 终点匹配代价：为了确保轨迹的终点与预定的目标点一致，我们引入终点权重，即 $x_{end}=x_{ref\_end}$。

4. 可行驶区域的中心线贴近代价：为了安全起见，我们希望轨迹远离障碍物，尽可能地靠近可行驶区域的中心线，这通过路径偏移量与参考偏移量之差 $x_i-x_{i\_ref}$ 来衡量。

综合这些因素，代价函数 $J$ 可以写为：

$$\begin{array}{rl}J& =w_{x\_ref}\sum _{i=0}^{n-1}(x_i-x_{i\_ref}{)}^2+w_x\sum _{i=0}^{n-1}(x_i{)}^2\\ & +w_{dx}\sum _{i=0}^{n-1}(x_i^{{}^{\prime }}{)}^2+w_{ddx}\sum _{i=0}^{n-1}(x_i^{{}^{\prime \prime }}{)}^2+w_{dddx}\sum _{i=0}^{n-2}(x_i^{{}^{\prime \prime \prime }}{)}^2\\ & +w_{end\_x}(x_{n-1}-x_{end\_l}{)}^2+w_{end\_dx}(x_{n-1}^{{}^{\prime }}-x_{end\_l}^{{}^{\prime }}{)}^2+w_{end\_ddx}(x_{n-1}^{{}^{\prime \prime }}-x_{end\_l}^{{}^{\prime \prime }}{)}^2\end{array}$$

将$x_i^{{}^{\prime \prime \prime }}=\frac{x_{i+1}^{{}^{\prime \prime }}-x_i^{{}^{\prime \prime }}}{\Delta s}$代入后展开
$$\begin{array}{rl}J& =w_{x\_ref}\sum _{i=0}^{n-1}(x_i-x_{i\_ref}{)}^2+w_x\sum _{i=0}^{n-1}(x_i{)}^2\\ & +w_{dx}\sum _{i=0}^{n-1}(x_i^{{}^{\prime }}{)}^2+w_{ddx}\sum _{i=0}^{n-1}(x_i^{{}^{\prime \prime }}{)}^2+w_{dddx}\sum _{i=0}^{n-2}(\frac{x_{i+1}^{{}^{\prime \prime }}-x_i^{{}^{\prime \prime }}}{\Delta s}{)}^2\\ & +w_{end\_x}(x_{n-1}-x_{end\_l}{)}^2+w_{end\_dx}(x_{n-1}\\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \end{array}$$