分治法的经典问题——大整数相乘

分治法的原理

讨论问题时，先来了解一下什么是分治法。

分治法的意思就是，分而治之，也就是把一个问题，拆分成几个小问题，最后再汇总解决的方法

通过大整数相乘问题来了解分治法

假如现在我们要求两个大整数相乘的乘积，如1234 * 1234（这里为了了分析简便，所以不举形如1234567891234567这样的大整数，不必要在此纠结），那么按照我们小学学的乘法，就是用乘数的每一项去和1234相乘，这样很明显，算法的时间复杂度是O(n^2)，效率很低下，那么有没有一种更好的方式？我们可以使用分治法来解决。

算法分析

1. 首先将X和Y分成A，B，C，D
2. 此时将X和Y的乘积转化为图中的式子，把问题转化为求解式子的值

看起来好像有点变化，分析一下：对这个式子，我们一共要进行4次 n / 2的乘法（AC2次， AD， BC）和 3次加法，因而该算法的时间复杂度为：

T(n) = 4 * T(n / 2) + θ(n)
通过master定理可以求得 T(n) = θ(n ^ 2)，跟小学算法的时间复杂度没有区别。

但是我们再来看看，我们是否可以用加法来换取乘法？因为多一个加法操作，也是常数项，对时间复杂度没有影响，如果减少一个乘法则不同。

XY=AC2^n+[(A-B)(D-C)+AC+BD]2^n/2+BD

现在的时间复杂度为：

T(n) = 3 * T(n / 2) + θ(n)，通过master定理求得，T(n) = O(n^log2(3) ) = O(n^1.59 )。

Master定理：

Master定理实例：

时间复杂度O的意义

实例分析

对X = 1234 和 Y = 5678来分析：

divideConquer（1234， 5678， 4）
————————————————————————
X=1234 | A=12 | B=34 | A-B=-22

Y=5678 | C=56 | D=78 | D-C=22

三次递归：
AC = divideConquer（12， 56， 2）
BD = divideConquer（34， 78， 2）
(A-B)(D-C) = divideConquer（-22， 22， 2）

AC递归
————————————————————————

X=12 | A1=1 | B1=2 | A1-B1=-1

Y=56 | C1=5 | D1=6 | D1-C1=1

A1*C1 = divideConquer（1， 5， 1） = 5
B1*D1 = divideConquer（2， 6， 1） = 12
（A1-B1） * （D1-C1） = divideConquer（-1， 1， 1） = -1；

所以AC递归求得的值为：5 * 10 ^ 2 + （-1 + 5 + 12）* 10 + 12 = 672

同理可得 BD = 2652 和 (A-B)(D-C) = -484

最终可得 X * Y = 7006652

代码实现

#include<cstdio>
#include<cmath>

using namespace std;

#define SIGN(A) ((A > 0) ? 1 : -1) 
int divideConquer(int X, int Y, int n){
    int sign = SIGN(X) * SIGN(Y);
    int x = abs(X);
    int y = abs(Y);
    if(x == 0 || y == 0){
        return 0;
    }else if(n == 1){
        return sign * x * y;
    }else{
        int A = (int) x / pow(10, (int)(n / 2));
        int B = x - A * pow(10, n / 2);
        int C = (int) y / pow(10, (int)(n / 2));
        int D = y - C * pow(10, n / 2);
        int AC = divideConquer(A, C, n / 2);
        int BD = divideConquer(B, D, n / 2);
        int ABDC = divideConquer((A - B), (D - C), n / 2) + AC + BD;
        return sign * (AC * pow(10 , n) + ABDC * pow(10, (int)(n / 2)) + BD); 
    }
}

int main(){
    int x, y, n;
    scanf("%d%d%d", &x, &y, &n);
    printf("x 和 y的乘积为：%d", divideConquer(x, y, n));
}

结果：