高级0-1背包问题——动态规划

  • 高级0-1背包问题:已知n个物品,每种物品对应有重量weight和价值value两个属性,给定一个背包可以装入物品的最大重量为maxWeight,求满足最大重量限制的情况下,背包中装入物品的总价值最大是多少?
  • 实例:总共有5种物品,即n=5,每个物品的重量为weights=[ 2,2,4,6,3],对应价值为values=[3, 4, 8, 9, 6],最大重量maxWeight=9,求背包中可装如物品的总价值最大是多少?
    • 如下表所示,表中行表示的第几个物品,表中的列表示物品的重量,由于背包的最大重量maxWeight=9,因此,该背包总共有0~9种重量的可能,表中的数据项表示价值,记为curValue,初始状态下curValue=-1。初始状态如下表所示:
      升级01背包问题初始状态
    • 当第0号物品决策完之后,即不放入背包或放入背包,如果不放入背包,则在curWeight=0的列curValue=0,如果放入背包,即在curWeight=2的列curValue=3,改变表中的对应状态:
      升级01背包问题第0号物品决策后的状态
    • 对于第1号物品:
      • 将物品(curWeight=2, curValue=4)不放入背包时:根据n=0的状态集合可以得到n=1的状态集合,如下所示:
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