运算的含义——分解和组合、选择和比较（差别）、分组和变换（比例）

        加法（+）是我们最熟悉的运算了，它反映了人们一个朴素的观点——任何对象（东西）都可以是别的对象的组合，因而也是可以分解的。可是为什么一定要去分解一个认识的对象呢？通常来说，一个复杂的对象（意味着需要用一个数值很大的数来列举各种可能情形），在分解后会得到若干个相对比较简单的对象，而简单的对象则比较容易处理。就数字本身来说，它也是可以分解为任意两个比自身小的数字的。比如，三可以分解成二和一，2个五个可以凑成十（在这里，按乘法理解也是可以的），等等。在众多的分解方案中，人们对于数的分解，最终形成了一个有序的、按层级分解的规范化方案，即进位制。在十进制中，我们就是按个、十、百、千、万......这样的数量级来分解的，因为像一、十、百、千这样的数是相对比较容易计算的，例如1024就是1个千、0个百、2个十和4个一组成的（这里不仅用到了加法，也运用到了乘法：1024=1×1000+0×100+2×10+4×1，详见下文关于乘法的讨论）。由此可见，分解有助于我们分析和认识对象，提出解决问题的办法。

        接下面我们来看一下减法（-）。之前我们说过，人们在生活中几乎把所有的东西都拿来数数。这里隐含了一个前提，就是能放在一起数的对象必须是同一类别的，或者说是处在同一个维度的，这样我们才可能用统一的尺度来度量。通常，我们说同一类的对象都是具有某些相同属性（性质）的，比如水果一般都是植物的果子、多汁的、酸甜的，等等。关于分类的问题，此处不展开，后面介绍本体论（概念和逻辑方面的专题）再详述。我们回到数数的场景，我们可以从水果篮里数1个水果（苹果），2个水果（梨），3个水果（香蕉）,......。但是，如果我们拿起苹果，数1个苹果，然后拿起梨，数2个梨，这样数数会让人觉得奇怪，甚至不可理解。由此可见，凡是能放在一起计数的，就必须是可以归为同一类的东西。对于归于同一类的对象，它们因具有一些相同的属性而类似；但不同的对象，在同一属性上的度量的结果不可能完全一样，有的数值大些，有的数值小些。这样，我们就面临对它们进行选择的问题。要进行选择，当然就要分辨这些相似的对象在多大程度上相似（对应的，也可以说是不同）。比如水果的酸甜度，橘子是甜的多一点、酸少一点，橙子是酸多一点、甜少一点，这些不同就是我们所要关心的。减法的产生，就是基于我们上述的需要。比较相似的东西在某一个相同属性上的接近程度，即它们究竟差别有多少，我们用减法。

       下面我们来看看乘法（×）。上一次，我们说到数数的时候，我们可以十个十个数，或者一百个一百个的数。在这些情况下，我们把一个十和一个百当作一来数，这种方法虽然不能数得那么精确，却极大的加速了我们数数的过程；而且对于不足一百或十的数目，我们可以在数完整十整百的数目后再增添上去。

        通过运用乘法，我们计数的技巧得到了发展。然而，乘法的应用并不仅限于此。在计数中，十和百是最常见的乘数，而在实际应用中，我们更多的把其它数值作为乘数，这样做的意义在哪呢？可以发现，在现实中我们认识的对象不可能只有一个属性。为了对认识的对象进行更细致的区分，我们通常将多个属性组合起来。因此，我们经常会在多个属性上对相似的对象进行比较。

        比如水果除了可以衡量它们的酸甜度，还可以称它们重量，观察它们的新鲜度（即采摘后储存时长），......，等等。我们比较两个水果，我们不仅可以比较它们的酸甜度，我们还可以比较它们的重量（或大小），等等。对于同样重量的橘子，我们还以继续对它们的甜度进行区分，是酸还是甜，是一般甜还是很甜？

        另一方面，由于两个不同属性分别属于不同的维度，采用不同的尺度进行度量，我们很难进行比较。比如橘子的重量和酸甜度是两个不同的属性，设想一下，是否见过这样奇怪的减法：重量50克-甜度30%？对于这种情况，在现实生活中，我们通常会权衡考虑各个属性，给出一个较为简单的综合指标来衡量该对象。比如我们在产品标记上经常看到的特等品、优等品、一等品、二等品、三等品等标记，一个贴着特等品标签的橘子可能意味着糖分比较高、个头比较大等各项比较好的具体指标。

        现在，假设我们把橘子按重量分为3个等次，按甜度也分为3个等次，然后根据橘子重量和甜度的不同把橘子分为相应的质量等级，我们总共会得到9个（3×3）橘子质量等级（见下表）。可以看出，如果只使用一个综合指标，我们就要对9个质量等级都要有所了解，等级的数量（即可能出现的情形）比较多，就会给人感觉错综复杂，很难全部记住。如果分两个具体指标，每个指标只需要了解三个等级，可能出现的情形就少了，就显得简单些，比较容易记住了（即使不按不同指标归类，总共也不过6个等级）。

        由此可见，乘法为很多组合的问题提供了一种不同于加法的新的分解方式。加法提供了的分解方式是在同一维度的，而乘法提供的分解方式是在多个不同维度上的。有了乘法，我们可以实现在一个单位尺度内使用另外的度量尺度进一步细分（比如整百整百数时，每多数一个一，其实是多了一百个）。这样的分解方式，虽然使用的维度变多了，但处于同一维度的复杂度却降低了。         

质量等级	1	2	3	4	5	6	7	8	9
甜度	1（很甜）	1（很甜）	1（很甜）	2（较甜）	2（较甜）	2（较甜）	3（不甜）	3（不甜）	3（不甜）
重量	1（大）	2（中）	3（小）	1（大）	2（中）	3（小）	1（大）	2（中）	3（小）

         至于除法（÷），可能大家都知道除法是乘法的逆运算。但实际上，使用除法的目的是简化，通过适当的分组（除数），使得数目（商）较原来的数目（被除数）小。使用除法后得到的商（或者通俗称为——比例）才是人们使用除法的目的。比例关系是在不同维度间对尺度作了一个简单实用的变换（投射），它以最简单的方式刻划了不同维度上度量和数值的对应关系。在前面我们已经看到，使用多个不同的属性来描述认知的对象可以将复杂的情形变得简单些，但是如果出现太多的属性，也会使问题复杂化。如果能找出不同属性间的对应关系（变换），即把一些（多余的）属性投射到另外一些属性上，那我们就可以不用关心那些多余的属性了，我们对认知的对象的分析就会得到进一步简化。

        就橘子的例子来说，我们可能会设想橘子的重量(y)和橘子的甜度(x)是不是有联系呢？是不是越重的橘子它就会越甜呢？如果是这样的话，那我们就不需要去检测橘子的甜度了，只要挑出那些比较重的橘子，它们就肯定是甜的。 现在假设我们手头上共有100个橘子， 我们列一个表统计一下各种不同重量和甜度的橘子数量，看一下会不会有很甜又很小的橘子呢？

重量y/甜度x	约10%	约30%	约50%	约70%	约90%
约25克	4个	2个	1个	0个	0个
约50克	0个	10个	6个	2个	0个
约100克	0个	0个	20个	8个	1个
约150克	0个	0个	10个	30个	2个
约200克	0个	0个	4个	0个	0个

         观察表中的数据，我们可以得到一个简单而粗略的假设，即：重量/甜度的比例(y/x)约是2。换句话说，在比例数（即2）范围之内的重量(y)变化，比如无论是100克还是101克，对于甜度(x)来说，都是不能分辨的、不可以区分的，它的甜度(x)都只可能为50，因为甜度(x)的尺度仅有重量(y)的二分之一。也就是说，当我们用重量来估计甜度时，我们大可不必1克1克的锱铢必较，我们可以2克2克的数，即是把度量单位从2克（重量）缩放到1%（甜度）。

        当然，我们把重量/甜度的比例(y/x)取为固定数值2是很不精确的，这个比例在真实情况下不会是固定值2，它是会随重量的变化而不同的（这一点很容易从表格中看出）。如何取得这个精确值呢？虽然我们只做出了一个的粗略的假设，但也不失为一个有用的尝试，既然这样，我们何不多做几个尝试呢？伴随这个尝试的过程，我们将会得到一系列的对这个比例的估计值，这些值可能会越来越接近于我们想要的精确值。关于这一系列的值和产生这一系列数值的过程，我们将马上进行讨论。