贪心算法-最优分解

最优分解问题

    问题描述：

          设 n 是一个正整数。现在要求将 n 分解为若干互不相同的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大。如 10 = 3+7 =

          4+6 = 2+3+5 = ……
          最大乘积为：2 * 3 * 5 = 30

    问题分析：

           整数的一个性质：若 a + b =N(常数)，则| a - b |越小， a * b 越大    

           证明 ：

        

       

           当 n < 4 时， n 的分解的乘积小于 n ；

           当 n >= 4 时，n = 1 + ( n – 1 ) 因子的乘积也是小于 n ;

           所以 n = a + ( n – a )，2 ≤ a ≤ n - 2，可以保证乘积大于 n，即越分解乘积越大。                        

    算法设计：

           采用贪心策略：

                 将 n 分成从 2 开始的连续自然数的和。如果最后剩下一个数，将此数在后项优先的方式下均匀地分给前面各项。该  

           贪心策略首先保证了正整数所分解出的因子之差的绝对值最小，即 | a – b |最小；同时又可以将其分解成尽可能多的因

          子，且因子的值较大，确保最终所分解的自然数的乘积可以取得最大值 

    算法代码：

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//            贪心算法解决 '整数最优分解' 问题.               
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#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

#define STR_LEN 100
#define TRUE    1
#define FALSE   0

int DoIntOptDecomposition( int n, int *a );

//分解整数，并且计算乘积 
int DoIntOptDecomposition( int n, int *a )
{
  int MaxProduct = 1; // 乘积
  int k = 1;
  int count = 2;			// 从 '2' 开始处理 
	
	//将 'n' 分成连续的自然数 
	while((n - count) > 0)
	{
		n -= count;
		a[k++] = count++;
	}
	//设置'a'数组的结束标记 
	a[k--] = -1;
	
	//将最后剩下的一个数，以后项优先的方式均匀分给前面各项 
	int basicsNum = n / (k - 1);		//前面项平均分配到的最低数量 
	int surplusNum = n % (k - 1); 	//剩余多的，分配给后项，每项分 '1' 
	while(k > 0) 
	{
		a[k] += basicsNum;
		if( surplusNum > 0 )
		{
			a[ k ] += 1;
			surplusNum --;	
		} 
		k --;
	}
	
	//计算乘积 
	//k此时值为 '0'，所有自增 '1' 
	while(k++, a[k] > 0)
	{
		MaxProduct *= a[k];
	}

  return MaxProduct;
}

int main( void )
{
  char StrN[ STR_LEN ];
  int  *a, *p;
  int  n, MaxProduct;
  int  IsStop;

  IsStop = FALSE;
  while ( !IsStop )
  {
  	system( "cls" );

		// 输入字符串 'A' ...
  	printf( "\n\n\t请输入 < 待分解的整数 > ， 输入 < q / Q > 表示结束 : " );
    scanf( "%s", StrN );
    if ( strlen( StrN ) > 0 )
		  IsStop = ( ( StrN[ 0 ] == 'q' ) || ( StrN[ 0 ] == 'Q' ) );
    else
      printf( "\t输入的整数不能为空 !\n\n" );

		if ( !IsStop )
		{
      a = ( int * )malloc( STR_LEN * sizeof( int ) );

	  	// 得到输入的整数值 ...
		  n = atoi( StrN );

      // 整数最优分解 ...
      MaxProduct = DoIntOptDecomposition( n, a );

	  	// 显示计算结果 ...
      printf( "\n\t< 整数最优分解乘积为：%d > \n", MaxProduct );

	  	printf( "\n\t< 分解因子值为 > \n" );
			int i = 1;
			while(a[i] > 0)
			{
				printf("\t%d", a[i]);
				i++;
			}
		
    	free( a );

    	printf( "\n\n" );
     	system( "PAUSE" );
		}
  }
  printf( "\n\n" );
  system( "PAUSE" );
  
  return 0;
}