最优分解问题贪心求解

问题描述

设m是一个正整数，现在要求将n分解为若干个互不相同的自然数的和，且使得这些自然数的乘积最大。
注意：这个问题不同于剪绳子问题，因为剪绳子问题可以使得每一段重复相等，而此问题必须使得划分出来的每一个数都互斥。

算法设计

对于给定的正整数m，要求计算最优分解方案

数据输入

输入只有1行，表示整数m

输入样例1：

10

输入样例2：

100

数据输出

输出有两行
第一行表示整数m划分的各个自然数，每个数之间有一个空格，划分的数按照升序排列。
第二行表示这个最大的乘积。
输出样例1：

2 3 5
30

输出样例2：

2 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
21794572800

思路

贪心算法。如果a+b=n，则|a-b|越小，那么ab越大，如老师所讲，可以将n分解成从2开始的连续自然数的和。
例如：输入n=10，则可以分解为 2、3、4，还剩下1不够5，把这个1倒着加，4 -> 5。
所以，最终分解为2,3,5，结果为23*5=30。

证明见贪心算法-最优分解

代码

#include <iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
int a[101];//用来存入划分的每个数
/*
贪心算法。如果a+b=n，则|a-b|越小，那么a*b越大，如老师所讲，可以将n分解成从2开始的连续自然数的和。
例如：输入n=10，则可以分解为 2、3、4，还剩下1不够5，把这个1倒着加，4 -> 5。
所以，最终分解为2,3,5，结果为2*3*5=30。
*/
int main()
{
    int m;
    cin>>m;//输入待划分的整数
    a[1]=2;//使得互斥和乘积最大，a[1]=2,
    m=m-2;
    int i;
    //往后的数依次递增直到不满足条件为止
    for(i=1;m>=a[i]+1;i++){
        a[i+1]=a[i]+1;
        m=m-a[i+1];
    }
    int n=i;//一共有n个数
    //将剩余的不能划分成的数m依次从后往前分配给每一个数，一次分配一个1
    //从后往前均匀分配
    while(m!=0){
       a[i]++;//对a[i]分配一个1
       m--;//剩下未分完的数减去1
       //一共有n个数，标号为1-n，步长为n
       //每次向前偏移距离1，offset=-1
       //初始标号start=1，末尾标号end=n
       //i=(i-start+offset)%n+start;
       i=(i-1-1+n)%n+1;//i在(1-n)中循环向前移动一个距离
    }
    //p用来存放最大乘积
    long long p=1;
    //输出最后划分出来的n个数
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cout<<a[i]<<" ";
        p=p*a[i];
    }
    cout<<endl<<p;//输出最大乘积
}