信号处理中的窗函数-优快云博客

理想情况：如果信号是完美的正弦波，且截取完整的周期（比如从波峰开始，到波峰结束），FFT会看到干净的单一频率。
✅ 就像用剪刀剪断一根正在匀速摆动的绳子，绳子不会乱抖。
实际情况：信号截取时，起点和终点可能不连续（比如从半空中剪断绳子）。
❌ 绳子会“猛地一抖”（产生高频杂波），FFT会误判这些抖动为真实频率。

数学本质：

截断信号 = 原始信号 × 矩形窗（突然归零）。
矩形窗的频谱有无数旁瓣（类似“回声”），会污染真实频谱。

3. 窗函数如何解决泄漏？

窗函数的作用：让信号“温柔地开始，温柔地结束”

汉宁窗（Hann Window）：两端平滑降到零，中间高。
- 相当于用手轻轻按住绳子两端，让它自然停止摆动，避免突然抖动。
- 结果：FFT频谱更干净，泄漏的能量被抑制。

汉宁窗原理

`torch.hann_window(N_FFT)` 的原理及示例说明

1. 汉宁窗（Hann Window）的作用

在短时傅里叶变换（STFT）中，直接对信号进行分帧并做FFT会产生频谱泄漏（Spectral Leakage），即能量扩散到邻近频率。汉宁窗的作用是减少频谱泄漏，使频谱更清晰。

汉宁窗的数学定义：

w[n]=0.5(1−cos⁡(2πnN−1)),n=0,1,…,N−1w[n]=0.5(1−cos(N−12πn)),n=0,1,…,N−1

其中，NN 是窗口长度（N_FFT）。

2. 代码解析

window = torch.hann_window(N_FFT).to(audio.device)

torch.hann_window(N_FFT)：生成一个长度为 N_FFT 的汉宁窗（值范围 [0, 1]）。
.to(audio.device)：确保窗口和音频数据在同一个设备（CPU/GPU）上，避免计算错误。

3. 示例说明

假设 N_FFT = 8，生成的汉宁窗如下：

import torch
N_FFT = 8
hann_window = torch.hann_window(N_FFT)
print(hann_window)

输出：

tensor([0.0000, 0.1883, 0.6113, 0.9505, 0.9505, 0.6113, 0.1883, 0.0000])

可视化：

n: 0   1     2     3     4     5     6     7
   |   |     |     |     |     |     |     |
   0.0 0.188 0.611 0.950 0.950 0.611 0.188 0.0

窗口两端接近 0，中间接近 1，这样可以减少信号截断带来的频谱泄漏。

4. 汉宁窗如何影响STFT？

假设有一段音频信号 x：

python

x = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 3.0, 2.0, 1.0, 0.0])  # 假设是 8 个采样点

不加窗的FFT（直接计算）：

python

stft_no_window = torch.fft.fft(x)
print(torch.abs(stft_no_window))

输出（幅度谱）：

tensor([16.0000,  6.8284,  4.0000,  2.8284,  0.0000,  2.8284,  4.0000,  6.8284])

加汉宁窗后的FFT：

windowed_x = x * hann_window  # 信号加窗
stft_windowed = torch.fft.fft(windowed_x)
print(torch.abs(stft_windowed))

输出（幅度谱）：

tensor([ 7.6043,  3.5063,  1.0353,  0.3540,  0.0000,  0.3540,  1.0353,  3.5063])

对比分析：

不加窗：频谱能量分散，高频部分（如 6.8284）较强，存在明显泄漏。
加汉宁窗：频谱更集中，高频分量（如 3.5063）明显减弱，泄漏减少。

5. 为什么汉宁窗能减少频谱泄漏？

两端渐近于 0：减少信号截断带来的突变（Gibbs现象）。
平滑过渡：中间高、两端低的形状使频谱能量更集中在真实频率附近。

6. 实际应用（STFT）

在 torch.stft 中使用汉宁窗：

python

stft = torch.stft(audio, N_FFT, HOP_LENGTH, window=window, return_complex=True)

window=window：对每一帧信号先加汉宁窗，再计算FFT，使频谱更准确。

数字信号处理的主要数学工具是傅里叶变换．而傅里叶变换是研究整个时间域和频率域的关系。不过，当运用计算机实现工程测试信号处理时，不可能对无限长的信号进行测量和运算，而是取其有限的时间片段进行分析。做法是从信号中截取一个时间片段，然后用截取的信号时间片段进行周期延拓处理，得到虚拟的无限长的信号，然后就可以对信号进行傅里叶变换、相关分析等数学处理。无限长的信号被截断以后，其频谱发生了畸变，原来集中在f(0)处的能量被分散到两个较宽的频带中去了（这种现象称之为频谱能量泄漏）。