Games101计算机图形学学习笔记:线性代数-向量

一、标量与向量

1、标量

只有大小，没有方向的数值即称为标量。比如：长度，面积，温度等。

2、向量

又称为矢量，既有大小又有方向的量。一个向量表示一个点指向另一个点的方向和长度。向量通常可以用一个字母并在字母上加→来表示,如：$\vec{a}$向量。

1.向量的方向

上图描述一个有 点A 指向 点B 的向量 $\vec{\mathbf{a}}$ 。 在同一个坐标系内，任何 $\vec{\mathbf{a}}$ 方向和长度相等的向量都和向量 $\vec{\mathbf{a}}$ 相等。比如由 点A’ 指向 点B’ 的向量 $\overrightarrow{{\mathbf{A}}^{\prime }}$ 。用向量的终点减起点即可得到这个向量的值: $\vec{\mathbf{a}}$ = B - A 。

2.向量的长度

向量的长度也叫向量的模，可以用两组两条|包裹的向量名来表示，如：$||\vec{\mathbf{a}}||$ 。
还有一种比较特殊的向量叫单位向量，单位向量的意思是模长为1的向量。单位向量用向量名上面加一个尖尖的角来表示，如：$\hat{\mathbf{a}}$。 用向量除以他自己的模长即可得到他的单位向量，也叫归一化向量：$\hat{\mathbf{a}}=\vec{\mathbf{a}}/||\vec{\mathbf{a}}||$ 。

在图形学中，我们关注一个方向通常都用单位向量，并不用关心它的长度

求模公式
$||\vec{A}||=\sqrt{x^2+y^2}$
这里我们还可以理解为一个向量为列矩阵乘以他的转置矩阵。
$\vec{A}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$
$A^T=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$

3.向量的计算

1.向量加法

向量加法可以用两种方式来解释，分别是平行四边形法则和三角形法则。
左边的图是平行四边形法则：
两个向量合成时，以表示这两个向量的线段为邻边作平行四边形，这个平行四边形的对角线就表示合向量的大小和方向，这就叫做平行四边形定则。
这里可以这样理解：因为向量在同一平面内可以随意移动而不会改变其值，我们可以把向量 $\vec{\mathbf{a}}$和向量 $\vec{\mathbf{b}}$的起点放在一起，然后再平移另一组向量 $\vec{\mathbf{a}}$和向量 $\vec{\mathbf{b}}$使得他们围城一个平行四边形。那么这个平行四边形的对角线就是向量 $\vec{\mathbf{a}}$和向量 $\vec{\mathbf{b}}$相加之和。

右边的图是三角形法则：
把向量 $\vec{\mathbf{a}}$和向量 $\vec{\mathbf{b}}$首尾相接，从向量 $\vec{\mathbf{a}}$的起点指向向量 $\vec{\mathbf{b}}$的终点的向量就是$\vec{\mathbf{a}}$+$\vec{\mathbf{b}}$的结果
这个不仅适用于两个向量，也可以用于多个向量。

2.向量的减法

将两个向量平移至公共起点，减向量的终点指向被减向量的终点的向量即为结果。

3.向量的乘法

1.点乘

1.在图形学中我们经常使用点乘来计算两个向量的夹角，比如制作光照模型时计算光照和法线的夹角。

几何解释
$\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}}=||\vec{\mathbf{a}}||||\vec{\mathbf{b}}||\mathbf{cos\theta }$
两个向量点乘的结果是一个标量。
$\mathbf{cos\theta }=\frac{\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}}}{||\vec{\mathbf{a}}||||\vec{\mathbf{b}}||}$
当两个向量都为单位向量时，公式可简化为
$\mathbf{cos\theta }=\hat{\mathbf{a}}\cdot \hat{\mathbf{b}}$
代数解释
$\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}}=(\begin{array}{c}{x}_a\\ y_a\end{array}$