MIT 3.054胞状材料、多孔材料课程笔记-Lecture7:天然蜂窝材料-软木-与泡沫机械性能计算

Lecture-7 Honeycombs:Natural Honeycombs--Cork and Foam MIT course by Lorna Gibson

1 软木Cork

Cork的应力-应变曲线：

软木的一些特殊机械性能：

泊松比为0

孔隙尺寸是10μm

更小尺寸意味着更小的导热率

2 泡沫的机械性质推导

**核心：**对变形的进行建模的同时，尽量不要牵扯太多的几何量，主要是用dimension argument

对于拉伸和受压，应力-应变曲线基本和蜂窝材料规律相同。

2.1 开放式 结构Open-Cell Foam

初始线弹性变形——以弯曲变形为主（假设了$t/l$较小)

从cubic cell开始，edges staggered，edge length L，cross section area

与孔隙几何形状选择无关的关系：

1. 相对密度
   $$\frac{{\rho }^{\ast }}{{\rho }_s}=\frac{V_s}{V_{t}otal}\propto \frac{t^{2}l}{l^3}\propto (\frac{t}{l}{)}^2$$

2. 惯性矩$ I \propto t^4$

3. 基本受力关系$\sigma \propto \frac{F}{l^2},ϵ\propto \delta /l,\delta \propto F{l}^3/E_{s}I$

4. 所以$E^{\ast }=\sigma /ϵ=F/l^2\times l/\delta =F/l^2\times l\times E_{s}I/F{l}^3$ $\propto E_s(t/l{)}^4\propto E_s(\frac{{\rho }^{\ast }}{{\rho }_s}{)}^2$

5. 总结上述关系，可以得到$E^{\ast }=C_1{E}_s(\frac{{\rho }^{\ast }}{{\rho }_s}{)}^2$ 。c1包含了所有几何相关的常数，根据杨氏模量的实验数据，近似c1=1.0

详细的几何分析，导出的tetrakaidecahedral 孔隙，得到的c1位0.98

剪切模量：

只是把常量换了
$$G^{\ast }=C_2{E}_S(\frac{{\rho }^{\ast }}{{\rho }_s}{)}^2,如果泡沫是各向同性且泊松比\gamma =\frac{1}{3}，则C_2等于\frac{3}{8}$$
泊松比

如果是各向同性的
$$V^{\ast }=\frac{E^{\ast }}{2G^{\ast }}-1=\frac{C_1}{2C_2}-1=常数。$$
所以泊松比和使用的材料，与相对密度没有关系，只与孔隙几何形状有关。

通过invert cell angle制备负泊松比泡沫：取热塑性材料，三面加压，加热到玻璃点温度，冷却，释放压力。

2.2 Closed-Cell Foam

上图中假设了面的厚度与边不一定相同

原因：一般情况下，聚合物凝固时会由于表面张力，将液体更多地拉到边缘相符。

变形的类型：除了边的弯曲外，还有面的拉伸，气体的压缩。

相对密度的关系：

对于开放式结构
$$\frac{{\rho }^{\ast }}{{\rho }_s}\propto (\frac{t}{l}{)}^2$$
对于封闭式结构：
$$\frac{{\rho }^{\ast }}{{\rho }_s}\propto \frac{t}{l}$$

基础推导

推导基本思想：和开放孔隙不同，这里用的是
外部力做功（$F\delta$）==
内力做功（$F/\delta \times {\delta }^2\propto E_{s}I/l^3\times {\delta }^2$）
+面的拉伸力做功(${\sigma }_f{ϵ}_f{V}_f\propto E_s{ϵ}_f^2{V}_f\propto E_s(\frac{\delta }{l}{)}^2{t}_f{l}^2$)

内力做功那一项可以类比成弹簧的弹性势能，前面为刚度系数，后面为位移的平方。

因此，我们可以建立等式，设两个常数α、β:
$$F\delta =\alpha \frac{E_s{t}_e^4}{l^3}{\delta }^2+\beta E_s(\frac{\delta }{l}{)}^2{t}_f{l}^2\text{\hspace{1em}(1)}$$
又因为F是外力，需要消掉，因此：
$$E^{\ast }\propto \frac{F}{l^2}\frac{l}{\delta }\to F\propto E^{\ast }\delta l\text{\hspace{1em}(2)}$$
将（2）式代入（1）式，

可以得到：
$$\begin{gathered} E^{\ast }{\delta }^{2}l=\alpha \frac{E_s{t}_e^4}{l^3}{\delta }^2+\beta E_s(\frac{\delta }{l}{)}^2{t}_f{l}^2 \\ {E}^{\ast }=E_s(\alpha (\frac{t_e}{l}{)}^4+\beta \frac{t_f}{l}) \\ \text{\hspace{1em}(4)} \end{gathered}$$

若我们设$\varphi$为边缘的体积分数，则有：
$$\frac{t_e}{l}=C{\varphi }^{0.5}(\frac{{\rho }^{\ast }}{{\rho }_s}{)}^0.5$$

$$\frac{t_f}{l}=C^{\prime }(1-\varphi )(\frac{{\rho }^{\ast }}{{\rho }_s})$$

因此：
$$\frac{E^{\ast }}{E_s}=C_1{\varphi }^2(\frac{{\rho }^{\ast }}{{\rho }_s}{)}^2+C_1^{\prime }(1-\varphi )(\frac{{\rho }^{\ast }}{{\rho }_s})$$

封闭腔内气体膨胀引入的对杨氏模量的影响

依然是从cubic element开始，初始泡沫总体积为V0；

在单向受压时，变化的总体体积为$\frac{V}{V_0}=1-ϵ(1-2{\gamma }^{\ast })$设受压为正，忽略应变的高次项。

因此，算空腔的变化，减去固体部分即可得到空腔部分的变化：
$$\frac{V_g}{V_g^0}=\frac{1-ϵ(1-2{\gamma }^{\ast })-{\rho }^{\ast }{\rho }_s}{1-{\rho }^{\ast }/{\rho }_s}$$
$V_g$表示应变后的体积，$V_g^0$表示初始状态的体积

然后，根据Boyle’s Law：$p{V}_g=p_0{V}_s^{\ast }$，可以的到压力的变化，即需要克服的压力：
$$p-p_0=p^{\prime }=\frac{p_0ϵ(1-2{\gamma }^{\ast })}{1-ϵ(1-2{\gamma }^{\ast })-{\rho }^{\ast }/{\rho }_s}$$
因此，膨胀的压力对模量的贡献部分为：
$$E_g^{\ast }=\frac{d{p}^{\prime }}{dϵ}=\frac{P_0(1-2{\gamma }^{\ast })}{1-{\rho }^{\ast }/{\rho }_s}$$
最终结果：
$$\frac{E^{\ast }}{E_s}=C_1{\varphi }^2(\frac{{\rho }^{\ast }}{{\rho }_s}{)}^2+C_1^{\prime }(1-\varphi )(\frac{{\rho }^{\ast }}{{\rho }_s})+C_1^{\prime \prime }\frac{P_0(1-2{\gamma }^{\ast })}{E_s(1-{\rho }^{\ast }/{\rho }_s)}$$

第一项为边的弯曲，第二项为面的拉伸。对于大部分情况，第三项一般可以忽略，例如对于p0=大气压0.1MPa，就一般可以忽略。

计算剪切模量：

Note：在剪切受力的时候，没有体积的变化，因此没有气体压缩项（第三项）
$$\frac{G^{\ast }}{E_s}=\frac{3}{8}[{\varphi }^2(\frac{{\rho }^{\ast }}{{\rho }_s}{)}^2+(1-\varphi )(\frac{{\rho }^{\ast }}{{\rho }_s})]$$

计算泊松比：

依然只和孔隙几何形状有关。

3 应用情况

空心的是开放结构

实心的是封闭结构

剪切模量

泊松比