20、消防策略的进化学习

消防策略的进化学习

1. 引言

在应对火灾问题时，如何制定有效的消防策略是至关重要的。本文将探讨两种不同场景下的消防策略：火灾包围和高速公路保护，并介绍通过进化算法来学习这些策略的方法。

2. 火灾包围策略

2.1 策略行为与适应度评估

当策略尝试保护已经燃烧的单元格时，会根据想要扩展屏障前端还是后端，从序列给定的方向开始，按顺时针或逆时针顺序搜索下一个未燃烧的单元格。例如，在图 2 中，如果 (0, 0) 一开始就着火了，从 (0, -1) 应用 (N, F) 会导致封锁单元格 (-1, 1)，这就形成了新的前端。

为了确定策略的适应度，两个值很重要：包围火灾所需的时间和燃烧顶点的总数。由于随机初始化的序列很可能无法包围火灾，因此使用固定模拟时间 t 后燃烧顶点的总数。例如，在图 1 中，模拟时间 t = 3 时，给定策略的适应度为 5，因为在 t = 3 时有 5 个单元格在燃烧。

2.2 进化算法

该算法会不断改进一组随机初始化的策略，直到手动停止。其输入参数包括：
- c：每个时间步的预算收入
- n：种群大小
- t：模拟步骤数
- p：变异概率
- r：外部选择后保留的父策略比例

初始化时，会生成一个包含 n 个随机策略的种群 P（起始点固定为 (0, 1)），每个策略的序列长度至少为 t · c。算法的重复步骤如下：
1. 对 P 中的任何策略进行 t 个时间步的模拟，并确定其适应度。
2. 按适应度升序对 P 进行排序，只保留最佳的 ⌊r · n⌋ 个策略作为父策略。
3. 通过选择两个父策略并通过单点交叉组合它们的序列，将 P 重新补充到大小为 n。
4. 对于 P 中每个序列的每个元组，以概率 p 将其更改为新的随机方向和扩展侧（变异）。

为了加快模拟结果，当 c < 2 时，算法从初始预算 2 开始，这能让算法更快地找到成功策略。

2.3 实验结果

• 当 c = 2 时，进化算法找到了一个最优策略，仅用 84 代就找到了，该策略在 8 步内包围了火灾，最终有 18 个顶点着火。
• 当 c = 1.7 时，经过 1002 代找到了一个策略，在 46 步内包围了火灾，有 371 个顶点着火。
• 当 c = 1.6 时，算法未能找到包围策略，即使增加模拟时间也没有成功。

不同起始点对包围火灾的时间有影响，起始点离火灾越远，包围火灾所需的时间越长，如下表所示：
| 起始点 | 包围时间 | 燃烧顶点 |
| ---- | ---- | ---- |
| (0, 1) | 8 | 18 |
| (0, 4) | 23 | 156 |
| (1, 3) | 15 | 68 |
| (2, 2) | 24 | 161 |

2.4 火灾包围结论

至少对于离整体严格阈值有点距离的 c 值，简单的进化目标导向算法能够令人惊讶地快速找到成功（在 c ≥ 2 的情况下甚至是最优）的策略。但接近阈值 c = 1.5 的成功策略很难找到，因为对应的成功连接屏障解决方案需要四个回合，且每个回合开始时需要 90° 旋转，随机方法不太可能找到开始下一回合和旋转的合适时间。

3. 高速公路保护策略

3.1 进化模型

由于之前没有对该问题进行理论分析，首先尝试了允许保护任意单元格的通用策略，并使用基于坐标的基因组模型，策略由一组单元格坐标定义，单元格按照与火灾原点的 L1 距离顺序进行保护，即离火灾原点较近的单元格先被保护。可以使用以下两种模型：
- 连接基因组
- 由一组单元格坐标描述的坐标基因组

3.2 进化算法

由于策略重组通常不会带来改进，因此将算法限制为仅进行变异，即所谓的 (1 + 1)EA。只初始化一个随机生成的策略，若变异导致改进，则保留该变异，否则撤销。该过程可以轻松并行化，以提高效率。

适应度评估方面，之前的火灾包围问题是最小化燃烧单元格的总数，而现在是最大化火灾到达高速公路所需的时间。为了实现逐步改进，考虑了燃烧顶点的数量以及它们与高速公路的距离。具体定义如下：
设 S 是给定高速公路的保护策略，r(S) 表示应用 S 时火灾到达高速公路的第一个时刻，d(S)i 表示在 r(S) 模拟步骤后与高速公路距离为 i 的燃烧单元格数量。如果 r(S1) > r(S2) 或者 r(S1) = r(S2) 且对于最小的索引 i 有 d(S1)i < d(S2)i，则策略 S1 的适应度大于 S2。

3.3 实验结果

• 通用基因组 ：使用通用基因组时，策略总是会向连接屏障变异。这些策略通常在火灾原点和高速公路之间开始，靠近火灾一点，然后交替保护左右两侧的单元格，试图尽可能长时间地将火灾远离高速公路，这种策略被称为对称交替策略。
• 连接屏障 ：根据起始点与火灾的距离，观察到两种不同的战略行为：
  • 起始点离火灾原点或高速公路太近时，策略表现为对称交替。
  • 起始点距离合适时，策略表现为不对称对角策略。例如，当 c = 1.2 时，该策略可以分为三个阶段：
    • 阶段 I：从中心对角线向下保护，直到到达与火灾起始位置同一水平的单元格。起始于原点上方 n 个单元格，需要保护 n + 1 个单元格，并且必须在第 n 个时间步之前完成，这要求 c 足够大，即 n ≥ 1 / (c - 1)。
    • 阶段 II：每两个步骤向下继续扩展对角线一个单元格，用剩余的预算将屏障另一端的火灾尽可能远离高速公路，直到火灾接近高速公路。
    • 阶段 III：为了保护高速公路，从现在开始必须在靠近高速公路的一端每步至少保护一个单元格。由于在一端每步保护一个单元格，在另一端每两步保护一个单元格需要预算 c ≥ 1.5，因此对角线部分会被火灾突破，策略将继续在屏障的上部阻挡火灾，直到另一端的火灾到达高速公路。

不同预算下使用通用坐标基因组的策略结果如下：
| 预算 c | 到达高速公路的步数 |
| ---- | ---- |
| 1.4 | 61 |
| 1.3 | 54 |
| 1.2 | 48 |
| 1.1 | 43 |

mermaid 流程图如下：

graph TD;
    A[开始] --> B[选择进化模型];
    B --> C{通用基因组};
    B --> D{连接屏障};
    C --> E[对称交替策略];
    D --> F{起始点距离};
    F --> G[对称交替策略];
    F --> H[不对称对角策略];
    H --> I[阶段 I];
    H --> J[阶段 II];
    H --> K[阶段 III];

3.4 高速公路保护结论

使用进化算法，对高速公路保护问题有了有益的见解。对称交替和不对称对角策略都是最优解决方案的有希望候选者。两者的选择似乎取决于是否能够构建阶段 (I) 的对角线。当有一个额外的初始预算时，连接基因组总是会采用不对称对角策略。

对于 c ≈ 1.5，从未观察到能够无限期保护高速公路的策略，推测 1.5 是阈值。对于 c < 1.5，没有策略能够保护任意高速公路免受火灾，最佳保护策略要么在高速公路附近对称交替地构建单个连接屏障，要么先应用不对称对角连接屏障策略，这取决于火灾源与高速公路的距离和给定预算之间的关系。

4. 未来工作

除了对上述猜想进行理论证明和分析外，还有其他有趣的上下界问题值得进一步研究。

消防策略的进化学习

4. 未来工作对理论阈值问题的展望

在消防策略领域，虽然已经通过进化算法在火灾包围和高速公路保护问题上取得了一定的成果，但仍有许多理论阈值问题等待深入研究。

4.1 理论证明与分析

对于之前提出的猜想，即“对于 c < 1.5 没有策略能保护任意高速公路免受火灾，最佳策略取决于火灾源与高速公路距离和预算关系”，需要进行严格的理论证明。这不仅有助于从数学层面理解问题的本质，还能为实际应用提供更坚实的理论基础。

理论证明的过程可能涉及复杂的数学推导和逻辑分析。例如，需要构建合适的数学模型来描述火灾的蔓延和消防策略的实施过程，然后通过模型来验证猜想的正确性。

4.2 上下界问题研究

除了上述猜想的证明，还有其他有趣的上下界问题值得关注。这些问题的研究可以帮助我们更全面地了解消防策略的性能和限制。

• 上界问题 ：确定在给定条件下，消防策略所能达到的最佳效果的上限。例如，在特定预算和火灾初始条件下，最多能在多长时间内包围火灾，或者最多能将火灾阻挡在高速公路外多长时间。这有助于我们明确策略的优化目标，避免盲目追求不切实际的效果。
• 下界问题 ：研究消防策略的最低性能要求。例如，在何种情况下，无论采用何种策略，都无法实现火灾的包围或高速公路的保护。了解下界可以帮助我们识别策略失效的边界条件，从而在实际应用中提前做好应对准备。

4.3 研究方法与挑战

研究这些理论阈值问题可能需要综合运用多种方法，包括数学建模、算法设计和计算机模拟等。

• 数学建模 ：建立准确的数学模型是研究的基础。模型需要考虑火灾的蔓延规律、消防资源的分配和策略的实施过程等多个因素。通过数学模型，可以对不同策略的性能进行定量分析，从而为理论证明和优化提供依据。
• 算法设计 ：设计高效的算法来求解模型中的问题。例如，在寻找最佳策略时，可能需要使用优化算法来搜索解空间。算法的效率直接影响研究的可行性和结果的准确性。
• 计算机模拟 ：利用计算机模拟来验证理论结果和测试不同策略的性能。通过模拟，可以在不同的场景下对策略进行实验，观察其效果并分析其优缺点。计算机模拟还可以帮助我们发现一些在理论分析中难以发现的现象和规律。

然而，研究这些问题也面临着一些挑战。例如，火灾的蔓延是一个复杂的动态过程，受到多种因素的影响，准确地建模和预测火灾的发展是非常困难的。此外，随着问题规模的增大，算法的复杂度也会急剧增加，可能导致计算时间过长甚至无法求解。

5. 总结与启示

通过对火灾包围和高速公路保护两种场景下消防策略的研究，我们可以得到以下总结和启示：

5.1 进化算法的有效性

进化算法在寻找消防策略方面表现出了一定的有效性。在火灾包围问题中，对于 c 值离整体严格阈值有一定距离的情况，简单的进化目标导向算法能够快速找到成功甚至最优的策略。在高速公路保护问题中，通过进化算法也发现了对称交替和不对称对角等有潜力的策略。

5.2 阈值的重要性

阈值在消防策略中起着关键作用。在火灾包围问题中，接近阈值 c = 1.5 的成功策略很难找到；在高速公路保护问题中，推测 1.5 是能够无限期保护高速公路的阈值。了解阈值可以帮助我们确定策略的适用范围，避免在不切实际的条件下浪费资源。

5.3 策略选择的依据

在高速公路保护问题中，对称交替和不对称对角策略的选择取决于是否能够构建阶段 (I) 的对角线，这与火灾源与高速公路的距离和给定预算之间的关系密切相关。这启示我们在实际应用中，需要根据具体的场景和条件来选择合适的策略。

5.4 未来研究的方向

未来的研究应该集中在对理论阈值问题的证明和分析上，同时探索其他有趣的上下界问题。通过深入研究这些问题，可以进一步提高消防策略的性能和可靠性，为实际的消防工作提供更有效的支持。

以下是一个总结表格，展示了不同场景下的关键信息：
| 场景 | 关键参数 | 有效策略 | 阈值 | 未来研究方向 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 火灾包围 | 预算 c、起始点 | 进化目标导向策略 | c = 1.5 | 理论证明、上下界研究 |
| 高速公路保护 | 预算 c、火灾源与高速公路距离 | 对称交替、不对称对角策略 | c = 1.5 | 理论证明、上下界研究 |

mermaid 流程图展示未来研究的流程：

graph LR;
    A[提出理论猜想] --> B[数学建模];
    B --> C[算法设计];
    C --> D[计算机模拟];
    D --> E{验证猜想};
    E --> F[理论证明];
    E --> G[调整模型和算法];
    G --> B;
    F --> H[上下界研究];

总之，消防策略的进化学习是一个具有挑战性和实际意义的研究领域。通过不断的研究和探索，我们有望找到更有效的消防策略，提高应对火灾的能力，保护人们的生命和财产安全。