37、Ω算术化：连续函数的离散精确表示

Ω算术化：连续函数的离散精确表示

1. 多分辨率与Ω算术化概述

在当今的图像分析和几何建模等领域，多分辨率方法应用广泛，但也面临着数值精度的问题。Ω算术化作为一种新工具，能很好地兼顾这两个方面。它对连续函数进行算术化处理，会自然产生多分辨率的效果，这与方法中使用的缩放参数β有关。β是一个无限大的Ω整数，它编码了无限递增的尺度，算术化过程会同时在这些尺度上对初始连续函数进行离散化。

需要明确的是，Ω算术化的目标并非定义一种能产生“更好”图像和“更快”算法的离散化方法，而是基于重要的理论分析，提出一种对连续函数的构造性和精确的离散表示，并且这种框架自然会导向多分辨率表示。

2. Ω数的引入与性质

2.1 扩展理论

首先，我们要扩展一个给定的形式理论T（未明确指定，但包含整数和有理数的基础理论）。通过引入一个新的数常量Ω和一个新规则（BD），得到新理论T ⟨Ω⟩。对于依赖Ω的新陈述，其真值由以下基本定义（BD）给出：
设S(n)是理论T中依赖n ∈ N的陈述。如果S(n)对于几乎所有的n ∈ N都为真，那么S(Ω)为真。这里“几乎所有的n ∈ N”指的是“从某个水平开始的所有n ∈ N”，即“(∃N ∈ N) 使得 (∀n ∈ N) 且 n > N”。由于Ω可以被任何自然数替代，它表示一个Ω数，也是Ω整数的第一个例子。很容易验证Ω是无限大的，即大于N中的每个元素。因为对于p ∈ N，将（BD）应用于陈述p < n（该陈述对于几乎所有的n ∈ N都为真），可以得出p < Ω对于每个p ∈ N都成立。

2.2 构建数学对象世界

接下来，我们要描述一个数学对象的世界，它是扩