5、数字曲线与双圆形区域整数点凸包的研究

数字曲线与双圆形区域整数点凸包的研究

双圆形区域整数点凸包顶点数量的研究

长扁度的定义与性质

长扁度是一个用于描述集合形状特征的重要概念。对于一个紧致子集 (S) ，其长扁度 (\iota(S)) 的定义为：
(\iota(S) = \frac{d(S) - w(S)}{d(S)})
其中，(d(S)) 表示集合 (S) 的直径，(w(S)) 表示集合 (S) 的宽度。长扁度满足 (0 \leq \iota(S) \leq 1) ，(\iota(S)) 越大，集合 (S) 越“狭长”；反之，集合 (S) 越接近圆形。例如，直线段的长扁度为 (1) ，而圆盘或勒洛多边形的长扁度为 (0) 。

顶点数量上界的推导

为了得到 (|V (conv(SZ))|) 的上界，我们进行了一系列的推导。首先，通过几何关系得到 (d(S) = 2\sqrt{r_1^2 - (r_1 - w_1)^2}) 。然后，寻找 (r_1 \geq d(S)) 的条件，即：
(r_1 \geq 2\sqrt{r_1^2 - (r_1 - w_1)^2})
整理得到二次不等式：
(r_1^2 - 8r_1w_1 + 4w_1^2 \geq 0)
解这个不等式，得到：
(r_1 \leq (4 - 2\sqrt{3})w_1 \approx 0.536 \cdot w_1) 或 (r_1 \geq (4 + 2\sqrt{3})w_1 \approx 7.464 \cdot w_1)
由于 (r_1 \geq w_1) ，所以我们关注 (r_1 \geq (4 + 2\sqrt{3})w_1) 的情况。在这个