3、数字圆形及其应用

数字圆形及其应用

1. 引言

数字圆的表征、构建、重建和分割面临诸多理论挑战，同时也具备广泛的实际应用价值。近年来，随着数字微积分、数字几何以及数字视角下的字词和数字理论等新范式的发展，这些特性不仅有助于生成数字圆，还能从给定的数字曲线和曲线段中表征和识别数字圆及圆弧。

在数字化和矢量化的大背景下，表征和识别数字圆及圆弧的问题显得尤为重要。除了圆生成算法外，数字圆相关的研究领域还包括：
- 数字圆的多边形逼近
- 数字圆的表征
- 数字图像中圆弧/对象的检测/分割
- 圆弧的参数化
- 数字圆的抗锯齿解决方案

对于任意数字曲线段S，其每个单独的游程都是一个或多个数字圆的游程。然而，当考虑S的两个连续游程时，问题就变得复杂起来，需要判断是否存在一个共同的数字圆包含这两个连续游程。随着考虑的游程长度增加，问题的复杂度也会相应提高。

1.1 定义和预备知识

文献中存在多种数字圆的定义。若半径r ∈ Z⁺，圆心c = o(0, 0)，则对应的数字圆的第一卦限可定义为：
[ C_{Z_1}(o, r) = { (i, j) \in Z^2 | 0 \leq i \leq j \leq r \land |j - \sqrt{r^2 - i^2}| < \frac{1}{2} } ]
利用数字圆的8卦限对称性，完整的圆可表示为：
[ C_Z(o, r) = { (i, j) | { |i|, |j| } \in C_{Z_1}(o, r) } ]
对于任意圆心p(i_p, j_p) ∈ Z²，对应的数字圆为：
[ C_Z(p, r) = { (i + i_p