7、开关线性系统降阶建模与高阶动态模式分解方法综述

开关线性系统降阶建模与高阶动态模式分解方法综述

1. 开关线性系统平衡截断降阶方法

在处理开关线性系统（SLS）时，平衡截断（BT）方法是一种常用的降阶手段。下面介绍一种基于约束格拉姆矩阵的平衡截断方法。

1.1 方法描述

该方法的具体步骤在算法 1 中给出：
算法 1：使用约束格拉姆矩阵的平衡截断（BT）
输入：稳定矩阵 (A_q)，矩阵 (B_q)、(C_q)、(K_{q1,q2})，有限完全语言 (L) 和阶数 (r_q)。
1. 求解如式 (13) 和 (14) 所述的李雅普诺夫方程。
2. 按照式 (15) 和 (16) 计算格拉姆矩阵 (P_q) 和 (Q_q)，其中 (q = 1, 2)。
3. 计算 Cholesky 分解 (P_q = U_qU_q^T) 和特征值分解 (U_q^TQ_qU_q = V_q\Sigma_q^2V_q^T)，其中 (\Sigma_q^2) 是一个对角矩阵，包含按降序排列的奇异值。
4. 构造变换矩阵 (T_q \in R^{n_q×n_q})，(T_q = \Sigma_q^{1/2}V_q^TU_q^{-1})。
5. 计算系统 (\Sigma) 的平衡实现：
- (\overline{A} q = T_qA_qT_q^{-1})
- (\overline{B}_q = T_qB_q)
- (\overline{C}_q = C_qT_q^{-1})
- (\overline{K} {q1,q2} = T_{q2}K_{q1,q2}T_{q1}^{-1}) <