6、耦合系统的参数模型分析与受限切换的开关线性系统模型降阶

耦合系统的参数模型分析与受限切换的开关线性系统模型降阶

1. 引言

在许多工程和科学领域中，我们常常会遇到复杂的大规模时变过程模型。这些高维模型通常与偏微分方程（PDEs）的空间离散化相关。模型降阶（MOR）的目标是找到高效的计算方法，用更简单、更小的模型替代复杂模型，同时仍能捕捉原过程的行为。降阶模型（ROM）可以作为原模型的有效替代，用于模拟、分析或控制等任务。

在线性时不变（LTI）系统的背景下，平衡截断（BT）是一种常见的方法。其核心思想是将动态系统转换为平衡形式，使得难以到达的状态也难以观测。

开关系统是混合系统的一个子类，可看作是有限状态自动机与一组有限的LTI子系统（也称为模式）相互作用的结果。开关系统在机械和航空系统控制、功率转换器以及汽车工业等领域有广泛应用。然而，当状态空间维度较大且开关线性系统（SLS）包含大量子系统时，模拟、优化和控制等任务可能会面临困难。为解决这一问题，可以通过MOR将原SLS近似为降阶SLS。

一般来说，SLS的开关信号不受限制，可以遵循任何轨迹。在这种情况下，可达性和可观测性的概念已在子空间和格拉姆矩阵（Gramians）方面进行了研究。但在许多实际应用中，开关信号遵循特定的序列或模式，如自动变速箱换挡和功率转换器。因此，本文的主要目标是开发适用于受限开关信号的MOR方法。

2. 线性开关系统：定义与性质

连续时间开关线性系统（SLS）用$\Sigma$表示，由以下方程描述：
$\Sigma :
\begin{cases}
\dot{x}(t) = A_{\sigma(t)}x(t) + B_{\sigma(t)}u(t), x(0) = 0