5、耦合系统参数模型分析

耦合系统参数模型分析

1. 参数模型与再生核

设 $r : M \to U$ 是一个映射，其中 $M$ 是一个无特定结构的集合，$U$ 是一个可分希尔伯特空间，内积为 $\langle\cdot|\cdot\rangle_U$。假设 $\text{span } r(M) = \text{span im } r \subseteq U$ 在 $U$ 中稠密。对于这样的函数 $r$，可以关联一个线性映射 $\tilde{R} : U \ni u \to \langle r(\cdot)|u\rangle_U \in \mathbb{R}^M$。

通过构造，$\tilde{R}$ 限制在 $\text{span im } r$ 上是单射，并且在其限制值域 $\text{range } \tilde{R} := \tilde{R}(\text{span im } r) \subseteq \mathbb{R}^M$ 上有逆。可以在 $\tilde{R}$ 上定义内积：
[
\forall \varphi, \psi \in \tilde{R} \quad \langle \varphi|\psi \rangle_R := \langle \tilde{R}^{-1}\varphi|\tilde{R}^{-1}\psi \rangle_U
]
用这个内积完成 $\tilde{R}$ 得到 $R$。$\tilde{R}^{-1}$ 是 $\text{span im } r$ 和 $\tilde{R}$ 之间的双射等距映射，进而扩展为 $U$ 和 $R$ 之间的酉映射。

定义再生核 $\kappa(\mu_1, \mu_2) := \langle r(\