4、结构分析与参数模型：从理论到实践

结构分析与参数模型：从理论到实践

在工程和科学领域，我们常常需要处理复杂的结构和系统。对于结构健康监测而言，准确分析不同几何形状下的参数化偏微分方程（PDEs）至关重要。本文将介绍相关研究中的一些关键方法和成果，包括静态凝聚最优端口/界面减少、误差估计以及参数模型的分析。

1. I 型梁的静态凝聚与误差分析

在研究 I 型梁时，我们首先关注其组件网格和裂缝情况。通过图 5 可以看到 I 型梁（a）、带裂缝的 I 型梁（b）以及共享端口的网格（c）。在分析过程中，我们设置了不同的边界条件，例如在 $\Omega_1$ 和 $\Omega_2(\mu)$ 的外端口分别采用狄利克雷边界条件 $(0, 0, 0)^T$ 和 $(1, 1, 1)^T$。

接下来，我们评估了有限元解 $u(\mu)$ 和基于端口空间的端口减少静态凝聚近似 $u_{n + 6}(\mu)$ 之间的相对误差。这里的 $+6$ 表示包含在 $R_{n,ker}(\mu)$ 中的六个刚体运动。从图 6 中可以观察到，如果将 I 型梁与带裂缝的 I 型梁连接，并使用由两个无缺陷 I 型梁连接生成的谱模式，相对误差会出现停滞现象。不过，我们仍然获得了小于 $10^{-3}$ 的相对误差，这表明了减少静态凝聚近似对于 I 型梁的收敛速度极快，也证明了最优端口空间在该测试案例中的近似能力令人信服。

2. 光谱贪婪算法在几何变化中的应用

为了应对不同几何形状的变化，我们采用了光谱贪婪算法来生成联合端口空间。对于有缺陷和无缺陷的 I 型梁，当容差为 $2 \cdot 10^{-6}$ 时，该算法生成的端口空间大小为 23。考虑到在这个容差下，每个几何形状的转移特征值问题的特征空间维度