24、平面概率分段常数导数系统稳定性与LCRL工具介绍

平面概率分段常数导数系统稳定性与LCRL工具介绍

1 平面概率分段常数导数系统稳定性分析

1.1 等价关系与概率双模拟

从状态 $(q_0, x_0)$ 出发，简化系统 $H_{red}$ 的所有路径将从 $(q_0, f_0)$ 开始，其中 $f_0$ 是包含 $x_0$ 的面。在加权离散时间马尔可夫链 $M_H \sqcup H_{red}$ 的状态集上定义等价关系 $\sim$ 如下：
- 若 $q_i = q_j$ 且 $x_i, x_j$ 属于同一个面，则 $(q_i, x_i) \sim (q_j, x_j)$；
- 若 $q_i = q_j$ 且 $x_i \in f_j$，则 $(q_i, x_i) \sim (q_j, f_j)$；
- 若 $q_i = q_j$ 且 $f_i = f_j$，则 $(q_i, f_i) \sim (q_j, f_j)$。

其中 $q_i, q_j \in Q$，$x_i, x_j \in X$，$f_i, f_j \in \cup_{q \in Q} F(Inv(q))$。该等价关系的等价类集合为 ${(q, f) | q \in Q, f \in F(Inv(q))}$。根据相关引理可推出，$\sim$ 是 $M_H \sqcup H_{red}$ 上的概率双模拟。

1.2 收敛性与稳定性关系

集合 $\Pi = {\pi \in Paths(M_H \sqcup H_{red}) : W(\pi[1 : \infty]) = -\infty}$ 是 $\sim$ 双模拟封闭的。对于任意 $\pi \in \Pi$ 和 $\tilde{\pi} \s