22、平面概率分段常数导数系统的稳定性分析

平面概率分段常数导数系统的稳定性分析

1. 引言

随机混合系统（SHS）的稳定性是一个理想的特性，它能保证即使存在随机误差，系统的执行最终也能收敛到平衡点。本文聚焦于一类特殊的 SHS，其中连续状态空间是平面的，动态变化具有恒定速率，且这些速率是离散的并通过概率方式选择，即概率分段常数导数系统（PPCD）。这类系统由有限个离散状态组成，每个状态代表不同的操作模式，每个模式都与一个恒定速率的动态变化相关联，并且在某些多面体边界处可以进行概率模式切换，非常适合对平面机器人的分段线性行为进行建模。

安全分析在非随机和随机混合系统中都有广泛研究，但稳定性分析，尤其是从计算角度来看，相对较少被探索。即使对于非随机混合系统，安全性的可判定性（即存在精确算法）也仅在对动态和维度有一定限制的情况下才能实现。本文的主要贡献在于确定了一类实用的随机混合系统子类，其稳定性是可判定的，并提供了精确的稳定性分析算法。

经典的稳定性分析技术基于李雅普诺夫函数，但在混合系统中计算这些函数具有挑战性，通常需要解决复杂的优化问题。本文采用了基于图论的约简方法来证明稳定性分析的可判定性。具体而言，将平面 PPCD（一个潜在的无限状态概率系统）约简为有限状态离散时间马尔可夫链，通过算法检查约简系统的某些属性，就能精确推断平面 PPCD 的稳定性。本文研究了两种稳定性概念：绝对稳定性和几乎必然稳定性。前者要求每个执行都收敛，后者要求收敛的系统执行集合的概率为 1。

2. 相关工作

在经典控制理论中，稳定性是一个研究充分的问题，基于李雅普诺夫函数的方法得到了广泛发展，并已扩展到混合系统中。然而，构建李雅普诺夫函数在计算上具有挑战性，因此人们探索了其他近似方法。例如，一种方法是将