24、子空间设计中的计算方法

子空间设计中的计算方法

在子空间设计领域，计算方法起着至关重要的作用。本文将深入探讨子空间设计中的多种计算方法，包括轨道矩阵、Kramer - Mesner方法、有前景的群、相关结果、非存在性结果、Kramer - Mesner矩阵的生成以及子空间设计的同构问题。

1. 轨道矩阵与子空间设计

并非步骤1中的每个轨道矩阵都能产生子空间设计，相反，步骤1中的单个矩阵可能会产生多个非同构的设计。

例如，我们想从示例1中通过规定循环对称性来构造一个组合设计，如映射σ : (a, b, c, d) → (b, c, d, a)，它在边上的诱导映射为 (1, 2, 3, 4, 5, 6) → (2, 3, 4, 1, 6, 5)。在群⟨σ⟩的作用下，顶点集是一个单一轨道 {a, b, c, d}，边集被划分为两个轨道 {1, 2, 3, 4} 和 {5, 6}。

我们要寻找一个1 - (v, 2, 1) 设计，已知这样的设计由λ₀ = 1×$\binom{4}{1}$/$\binom{2}{1}$ = 2个区组组成，每个点出现在λ₁ = 1×$\binom{3}{0}$/$\binom{1}{0}$ = 1个区组中。

因此，我们尝试通过选取长度为2的区组轨道来构建设计（在这个小例子中只有一种选择）。由于只有一个点轨道，步骤1中唯一的选择是采用由单个元素组成的平凡分解矩阵，即n = m = 1。组合设计的方程(5) 立即给出κ₁,₁ = 2 和ρ₁,₁ = 1。注意，在这种情况下我们不能使用方程(7) 的组合设计版本，因为我们正在寻找1 - 设计。所以，步骤1中唯一可能的矩阵是(1)。

在步骤2中，我们发现，在⟨σ⟩的作用下，只有一个