22、子空间设计的q-模拟：探索与挑战

子空间设计的q-模拟：探索与挑战

1. 简单子空间设计

在子空间设计领域，Itoh引理为我们提供了一系列简单子空间设计。这些设计具有特定的参数 (t-(v, k, \lambda)_q) 以及对应的自同构群，如下表所示：
| (t-(v, k, \lambda)_q) | 参数 | 自同构群 |
| — | — | — |
| (2-(8m, 3, 42)_2) | (m \geq 3) | (SL(m, 2^8)) |
| (2-(9m, 3, 42s)_2) | (m \geq 3, 1 \leq s \leq 2) | (SL(m, 2^9)) |
| (2-(10m, 3, 210)_2) | (m \geq 3) | (SL(m, 2^{10})) |
| (2-(13m, 3, 42s)_2) | (m \geq 3, 1 \leq s \leq 2) | (SL(m, 2^{13})) |
| (2-(8m, 3, 312)_2) | (m \geq 3) | (SL(m, 3^8)) |

其中，相关设计的自同构群都包含Singer循环群 (S(\ell, q)) 作为子群。通过一些组合操作，我们可以得到新的设计。例如，将三个不相交的 (N(8, 2)) - 不变的 (2-(8, 3, 21)_2) 设计中的两个组合，可得到 (N(8, 2)) - 不变的 (2-(8, 3, 42)_2) 设计。利用Itoh引理，这些设计能立即转化为新的无限系列子空间设计。

2. q - 斯坦纳系统

在子空间设计中，(\lambda = 1) 的情况特别引人关注，这样的设计被称为q - 斯