8、循环子空间码、最大秩距离码与旗码的深入探讨

循环子空间码、最大秩距离码与旗码的深入探讨

最大秩距离码相关结论

在最大秩距离（MRD）码的研究中，除定理 7 外，所有 MRD 码的包含关系可以用文氏图表示。Singleton 类界和引理 3 为某些特定的最优集提供了联系，具体体现在以下推论中。

• 推论 7 ：设 $k$ 为正整数，满足对于所有 $(\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2) \in T$，有 $\beta_1 - \beta_2 = 0$，或 $\alpha_1 - \alpha_2 = 0$，或 $\text{Norm}(\beta_1 - \beta_2) \neq (-1)^{nk}\text{Norm}(\alpha_1 - \alpha_2)$ 的最大可能子集 $T \subseteq F_{q^n} \times F_{q^n}$ 的大小为 $q^n$。
• 示例 8（Sheekey 的例子） ：设 $h$ 为正整数，$\eta \in F_{q^n}$ 满足 $\text{Norm} \neq (-1)^{nk}$，则 $T_{\eta,h} := {(\alpha, \eta\alpha^{q^h}) : \alpha \in F_{q^n}}$ 是推论 7 中给出的最优集。
• 示例 9（定理 8 构造的例子） ：设 $I$ 是 $F_q$ 的子集，则 $T_I := {(\alpha, 0), (0, \beta) : \alpha, \beta \in F_{q^n}, \text{Norm}(\alpha)