6、循环子空间码与最大秩距离码的构造

循环子空间码与最大秩距离码的构造

1. 子空间码与秩度量码基础

• 子空间码 ：在 $P_q(N)$ 上定义的距离称为子空间距离。包含至少两个元素且配备此度量的子集 $C \subseteq P_q(N)$ 称为子空间码。若 $C \subseteq G_q(N, k)$，则 $C$ 也称为恒定维数码。子空间码的最小距离 $d(C)$ 定义为 $d(C) := \min{d(U, V) : U, V \in C \text{ 且 } U \neq V}$。子空间 $U \subseteq F_q^N$ 的循环移位定义为 $\alpha U := {\alpha u : u \in U}$，其中 $\alpha \in F_q^N^ $。若对于所有 $U \in C$ 和 $\alpha \in F_q^N^ $ 都有 $\alpha U \in C$，则子空间码 $C$ 称为循环码；若对于所有 $U \in C$ 和 $\alpha \in G$（$G$ 是 $F_q^N^*$ 的乘法子群）都有 $\alpha U \in C$，则称为拟循环码。子空间码是随机网络编码中的主要数学工具，循环子空间码因其高效的编码和解码算法而备受关注。
• 秩度量码 ：设 $F_q^{m\times n}$ 是 $F_q$ 上 $m\times n$ 矩阵的集合。在 $F_q^{m\times n} \times F_q^{m\times n}$ 上，定义函数 $d(A, B) := \text{rank}(A - B)$，它满足度量的通常公理，称为 $F_q^{m\times n}$ 上的秩距离。包含至少两个元