41、量子自动机中的镜子与记忆：有界与无界内存探索

量子自动机中的镜子与记忆：有界与无界内存探索

1. 引言

量子计算因量子加速等现象，正成为热门研究领域。利用量子力学特性，可设计出能以多项式时间解决经典计算需指数时间的算法。然而，在自动机这类基础计算模型中，量子力学的幺正演化规则却限制了其表达能力，例如简单的单字符串语言就无法被MO - QFAs接受。本文将深入探讨量子有限自动机的有界和无界内存情况，分析其表达能力。

2. 无界内存量子有限自动机（UMQFAs）

UMQFAs的语法定义与QFAs相同，但接受条件不同。具体定义如下：
- 定义（割点UMQFA） ：语言$L \subseteq \Sigma^ $被具有割点$\lambda$的UMQFA $M$接受，当且仅当$L = {x \in \Sigma^ | \omega_M(x) > \lambda}$。若存在UMQFA $M$和$\lambda \geq 0$，使得$L \subseteq \Sigma^*$被$M$以割点$\lambda$接受，则称$L$可被具有割点的UMQFA接受。

这里我们任意决定依赖一组矩阵，也可考虑更一般的定义。关键在于，读取字符时应用的幺正矩阵依赖于此前读取的所有字符，且这种依赖需以有限方式定义，即依赖于有限的初始矩阵集。接下来我们要探讨，这种语义是否增强了QFAs的表达能力。为此，我们先研究仅使用有界数量字符的情况。

3. 有界内存量子有限自动机（h - MQFAs）

3.1 h - MQFAs的定义

为仅处理有界数量的字符，我们固定$h \geq 0$，引用$x_h^j$而非