n皇后问题(回溯法)

回溯法解决N皇后问题

回溯法求解n皇后问题Queue(皇后k摆放在k行x[k]列的位置)

算法如下

输入:皇后的个数n

输出:n皇后问题的所有可行解

1.  初始化解向量x[n]={-1}

2.  K=0;

3.  While(k>=0)

3.1     把皇后k摆放在下一列的位置,即x[k]++;

3.2     从x[k]开始依次考察每一列,如果皇后k摆放在x[k]位置不发生冲突,则转步骤3.3;否则x[k]++试探下一列;

3.3     若n个皇后已全部摆放,则输出当前解,sum++;

3.4     若尚有皇后没摆放,则k++;

3.5     若x[k]出界,则回溯,x[k]=-1, k--;

3.6     若x[k]出界,且k==0,已经不能再回溯了,算法结束。

4.  退出循环,如果sum==0,则说明n皇后无解。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int x[100]={-1};
int place(int k)
{
    for(int i=0;i<k;i++)
    {
        if(x[i]==x[k] || abs(i-k)==abs(x[i]-x[k))//考察皇后k放置在x[k]列是否发生冲突、
           return 1;//违反约束条件
    }
    return 0;
}
void Queue(int n)
{
    int sum=0;
    int k=0;
    while(k>=0)
    {
        x[k]++;//在下一列摆放皇后k
        while(x[k]<n&&place(k)==1)//发生冲突
            x[k]++;//皇后k试探下一列
        if(x[k]<n && k==n-1)//得到一个解输出
        {
            sum++;
            for(int i=0;i<n;i++)
                cout<<x[i]+1<<" ";
            cout<<endl;
        }
        if(x[k]<n&&k<n-1)//尚有皇后未摆放
            k=k+1;//准备摆放下一个皇后
        else
        {
           x[k--]=-1;//重制x[k],回溯,重新摆放皇后k
        }
        if(x[k]==n&&k==0)//已经不能再回溯了,算法结束
           break;
    }
    if(sum==0)
     cout<<"无解"<<endl;
}
int main()
{
    int n;
    cout<<"输入n: ";
    cin>>n;
    Queue(n);
    return 0;
}


### N皇后问题回溯法编程示例 #### 一、N皇后问题概述 N皇后问题是经典的组合数学难题之一,目标是在 n×n 的国际象棋棋盘上放置 n 个皇后,使它们互不攻击。即任何两个皇后都不能处于同一行、同一或同一条对角线之上。 #### 二、解决方案——回溯算法原理 回溯是一种通过尝试所有可能情况来解决问题的方法,在遇到冲突时会撤销前一步操作并继续探索其他可能性。对于N皇后问题来说,就是逐行摆放皇后,并检测当前位置是否合法;如果不合法则返回至上一层重新选择位置直到找到可行解为止[^1]。 #### 三、Python实现代码 下面给出基于上述思路编写的 Python 版本程序: ```python def solve_n_queens(n): result = [] def could_place(row, col): return not (cols[col] + hill_diagonals[row - col] + dale_diagonals[row + col]) def place_queen(row, col): queens.add((row, col)) cols[col], hill_diagonals[row - col], dale_diagonals[row + col] = True, True, True def remove_queen(row, col): queens.remove((row, col)) cols[col], hill_diagonals[row - col], dale_diagonals[row + col] = False, False, False def add_solution(): solution = [] for _, col in sorted(queens): solution.append('.' * col + 'Q' + '.' * (n - col - 1)) result.append(solution) def backtrack(row=0): for col in range(n): if could_place(row, col): place_queen(row, col) if row + 1 == n: add_solution() else: backtrack(row + 1) remove_queen(row, col) cols = [False] * n hill_diagonals = [False] * (2 * n - 1) dale_diagonals = [False] * (2 * n - 1) queens = set() emptyboard = [['.'] * n for _ in range(n)] backtrack() return result if __name__ == '__main__': solutions = solve_n_queens(8) for i, sol in enumerate(solutions[:5]): print(f'Solution {i+1}:') for line in sol: print(line) ``` 此段代码实现了完整的求解过程,其中`could_place()`函数用于判断某处能否放置皇后;而`place_queen()`, `remove_queen()`分别负责标记已占用的位置以及清除这些标志位以便后续试探其它路径;最后由`add_solution()`收集到当前有效的布局方案[^3]。
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