悟透Qt—求解画布经任意中心点旋转后相对旋转前坐标系的坐标

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已于 2022-10-17 23:32:15 修改 · 1.3k 阅读

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于 2022-10-17 18:55:06 首次发布

博客详细讨论了二维坐标系中，围绕任意点旋转的数学原理和矩阵表示。通过旋转中心点的平移和旋转矩阵，推导出旋转前后坐标的关系，并用Qt代码验证了90°和180°旋转的正确性。内容涵盖旋转角度计算、坐标变换及旋转矩阵构建，适用于图形处理和计算机图形学等领域。

黑色坐标系是旋转前的画布坐标，画布以中心点(Cx,Cy)顺时针旋转 α 角度后，就变换成了绿色坐标系。
在经旋转后的绿色坐标坐中任取一点(x’,y’)，现求出(x’,y’)在旋转前黑色坐标系中的坐标值。

|x| = R * cos(π*3/2 - α - β) = -R * cos(α + β)
|y| = R * sin(π*3/2 - α - β) = -R * sin(α + β)
 x' = R * cos(β)
 y' = R * sin(β)
 
|x| / x' = -cos(α + β) / cos(β)
|y| / y' = -sin(α + β) / sin(β)

|x| / x' = -cos(α) + sin(α) * tan(β) = -cos(α) + sin(α) * y'/x';
|y| / y' = -sin(α) * cot(β) - cos(α) = -sin(α) * x'/y' - cos(α)

|x| = -cos(α) * x' + sin(α) * y'
|y| = -sin(α) * x' - cos(α) * y'

➊旋转中心点(Cx,Cy)=(0,0)
由于|x|在黑色坐标系中心点左侧、|y|在黑色坐标系中心点上侧，所以它们都是向值减小的方向(负方向)，取负值，即：

x = cos(α) * x' - sin(α) * y'
y = sin(α) * x' + cos(α) * y'

同时，也可以得出：
x' =  cos(α) * x + sin(α) * y = cos(-α) * x - sin(-α) * y
y' = -sin(α) * x + cos(α) * y = sin(-α) * x + cos(-α) * y

即，顺时针(因Y轴朝下)旋转 α 角，就从(x',y')旋转到(x,y)；反之，逆时针旋转 α 角(顺时针旋转 -α 角)，就是从(x,y)旋转到(x',y')。

用矩阵表示为：（绕Z轴顺时针(因为Y轴向下)旋转α度的2x2旋转矩阵）
$\left( \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right) = \left[ \begin{array} { l l } { cosα } & { -sinα } \\ { sinα } & { cosα } \end{array} \right] \times \left( \begin{array} { l } { x' } \\ { y' } \end{array} \right)$
即，画布经顺时针(因为Y轴向下)旋转 α 角度后在新的坐标系下的坐标(x’,y’)，它在旋转前的坐标系下的坐标：(x,y)=[旋转矩阵]●(x’,y’)。

用Qt代码验证一下：

    float angle = 90 或 180;// 这两个值最容易在脑海中去验证
    float radians = qDegreesToRadians(angle);
    float rotElems[] = {
   
    qCos(radians), -qSin(radians),// in row-major order
                         qSin(radians), qCos(radians) };
    QMatrix2x2 rotMat(rotElems);
//    rotMatrix(0, 0) = qCos(radians);
//    rotMatrix(0, 1) = -qSin(radians);
//    rotMatrix(1, 0) = qSin(radians);
//    rotMatrix(1, 1) = qCos