最长公共子序列(Longest Common Subsequence)

最长公共子序列

一个字符串的子序列，是指从该字符串中去掉任意多个字符后剩下的字符在不改变顺序的情况下组成的新字符串。

最长公共子序列，是指多个字符串可具有的长度最大的公共的子序列。

例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。

问题的递归式写成：

递归算法如下：

#include <stdio.h>
#include <string.h>

// 递归求解
int max(int x, int y)
{
	return x > y ? x : y;
}

int LCS(char *s1, int l1, char *s2, int l2)
{
	if (l1 == 0 || l2 == 0) return 0;

	if (s1[l1 - 1] == s2[l2 - 1])
		return LCS(s1, l1 - 1, s2, l2 - 1) + 1;
	else
		return max(LCS(s1, l1 - 1, s2, l2), LCS(s1, l1, s2, l2 - 1));
}

int main()
{
	char a[30] = "ORYBPZFOFQWCYKBB";
	char b[30] = "ALFANOGUDKVKMXJL";
	int l1 = strlen(a);
	int l2 = strlen(b);
	
	printf("%d\n", LCS(a, l1, b, l2));  // 3
	return 0;
}

它的时间复杂度是O(2^n)。下面来讨论其非递归的解法。

根据递归的解法，可以形象的将递归的路线描绘成一张表：

递归的过程即为从右下角走到原点的一条路径。

由于最长公共子串"FOK"有两个种可能，因此有两种路线。

我们可以从左上角走到右下角，并将每个格子置相应的值，值的设置方法：

1、设A,B两个字符串的长度分别为m,n，先定义一个大于l1*l2的二组数组，并将其第0行，第0列全置0，作为初始条件。

2、开始对数组进行从左向右扫描，这时候每个格子对应的A,B两个字符是否相等分为两种情况：1）字符相等，2）字符不等。

1）字符相等：这个格子的值 = 左上角格子的值 + 1；

2）字体不等：这个格子的值  = max(左边格子的值，上边格子的值)；

3、所有的格式扫描完后，最右下角格子的值即为A,B最大公共子串的个数。

代码如下：

#include <stdio.h>
#include <string.h>

#define M 1024
#define N 1024
int lcs[M][N];

int max(int x, int y)
{
	return x > y ? x : y;
}

int main()
{
	char A[30] = "ORYBPZFOFQWCYKBB";
	char B[30] = "ALFANOGUDKVKMXJL";

	int m = strlen(A);
	int n = strlen(B);

	for (int i = 0; i <= l1; i++) lcs[0][i] = 0;
	for (int j = 0; j <= l2; j++) lcs[j][0] = 0;

	for (int i = 1; i <= n; i++)
	for (int j = 1; j <= m; j++)
	{
		if (B[i-1] == A[j-1])	// 1）字符相等
			lcs[i][j] = lcs[i - 1][j - 1] + 1; 
		else  			// 2）字符不等
			lcs[i][j] = max(lcs[i - 1][j], lcs[i][j - 1]);
	}
	
	printf("%d\n", lcs[n - 1][m - 1]); //  输出右下角的值
	return 0;
}

时间复杂度为O(m*n)。