这是一个非常深刻的问题。
我们目前的解法是：**枚举初始长度 `L1`，然后贪心模拟扩展过程**。这种做法本质上是“暴力+启发式
优化”。
现在你想知道：
> ✅ 是否可以用 **
动态规划（DP）或
记忆化搜索** 来替代这个暴力模拟？
---
## 🔍 问题本质回顾
我们要在数组 `s[0..m-1]` 中构造一个序列 $b$，规则如下：
- 初始选一段 `L1` 作为第一块
- 后续每一块长度必须 ≥ 当前 `|b|`
- 若新块 `c` 满足 $\exists\, i \in [1,\min(|b|,|c|)]$ 使得 $b_i = c_i$，则得分 +1，并将 `c` 接到 `b` 后面
- 目标：最大化得分
注意：每次接上的块长度等于当前 `built`（即 `|b|`），这是最优策略中常见的选择（贪心取最小合法长度）
---
## ❌ 为什么不能直接用 DP？
因为状态空间巨大：
### 状态设计难点：
- `dp[pos]` 表示从位置 `pos` 开始能得多少分？ → 不行，缺少上下文
- `dp[built_len][last_pos]`？→ `built_len` 可达 $10^5$，状态爆炸
- 状态需要知道当前 `b` 序列的内容？→ 太大，无法存储
所以 **无法直接对“构造出的 b”建模**
---
## ✅ 正确方向：DP on 构造路径（基于贪心性质）
但我们观察到一个重要事实：
> 在最优策略中，通常采用 **倍增式增长**：
>
> - 块长：`L1`, `L1`, `2*L1`, `4*L1`, ...
> - 总长度增长近似指数级 ⇒ 最多 $O(\log m)$ 步
这说明：**整个构造过程最多只有 $O(\log m)$ 次扩展**
我们可以利用这一点，设计 **
记忆化搜索（Memoized DFS）** 来替代暴力模拟。
---
## ✅ 解法思路：以 `(start, len)` 为状态进行
记忆化搜索
定义：
```cpp
map<pair<int, int>, int> memo;
// memo[{start, len}] = 从位置 start 开始，当前已构造序列长度为 len，
// 最多还能得多少分
```
但这仍然太大 —— `start` 和 `len` 都可达 $10^5$
---
## ✅ 更优思路：只记录“当前 built 长度”和“当前位置”，但利用贪心限制转移
实际上，在标准策略中：
- 每次扩展都
使用 `c_len = built`
- 所以下一步的位置是确定的
因此，整个扩展路径由 `L1` 完全决定！
也就是说：**一旦选定 `L1`，后续路径唯一确定（贪心模拟即可）**
➡️ 这意味着：**不存在“多种选择”的分支结构**，DP 无用武之地！
---
## 🚫 结论一：不能用传统 DP 替代枚举 `L1`
因为：
- 没有重叠子问题（每个 `L1` 走一条独立路径）
- 状态无法压缩
- 决策是线性的、贪心的，不是多路选择
所以：**这不是一个典型的可 DP 化问题**
---
## ✅ 但是！我们可以用“
记忆化剪枝”来加速多个查询中的重复模式
虽然单个查询内难以 DP，但在多组数据或多次查询中，可以尝试缓存某些结果。
### 改进方向 1：
记忆化“某个起始位置 + 长度”是否能匹配
我们发现内层循环频繁判断：
> 给定 `built`, `c_len`，是否存在 `k < c_len` 使得 `s[k] == s[built + k]`
这个可以预处理成一张表吗？
#### ✅ 方法：构建二维布尔数组 `can_match[i][j]` 表示 `s[i] == s[j]`
但不行，我们需要的是：是否存在 `k < L` 使得 `s[k] == s[pos + k]`
这其实是字符串匹配中的“对齐相等性”问题。
---
## ✅ 实用技巧：预计算所有偏移量下的“对齐匹配”快速查询
定义：
```cpp
vector<unordered_set<int>> pos_of_value(51); // 值 v 出现在哪些位置
```
然后对于给定的 `built` 和 `c_len`，我们想快速判断：
> 存在 `k ∈ [0, c_len)` 使得 `s[k] == s[built + k]`
等价于：存在某个值 `v ∈ [0,50]`，使得 `v` 同时出现在 `s[0:c_len]` 和 `s[built: built+c_len]` 的相同偏移 `k` 上
我们可以这样做：
```cpp
bool check_match(const vector<int>& s, int built, int c_len,
const vector<vector<int>>& pos) {
for (int v = 0; v <= 50; ++v) {
const auto& vec = pos[v];
// 二分查找：是否有 k < c_len 且 built + k 是 v 的出现位置？
for (int k : vec) {
if (k >= c_len) break;
if (built + k < s.size() && s[built + k] == v) {
return true;
}
}
}
return false;
}
```
但这仍是 $O(\text{occ})$
---
## ✅ 最佳折衷方案：结合贪心路径 +
记忆化得分路径
既然路径由 `L1` 决定，我们可以：
### 定义函数：
```cpp
int simulate(int L1, const vector<int>& s)
```
返回以 `L1` 开头最多得几分。
我们可以对 `(s_hash, L1)` 缓存结果，避免重复计算相同子数组。
---
## ✅ 完整
记忆化版本代码（支持子数组哈希缓存）
```cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 子数组哈希函数（简单多项式哈希）
long long hash_subarray(const vector<int>& s, int l, int r) {
long long h = 0;
for (int i = l; i <= r; ++i) {
h = h * 131LL + s[i];
}
return h;
}
// 全局缓存：hash ->
map<L1, score>
map<long long,
map<int, int>> cache;
int simulate(int L1, const vector<int>& s) {
int m = s.size();
if (L1 >= m) return 0;
int built = L1;
int score = 0;
while (built < m) {
int c_len = built;
if (built + c_len > m) break;
bool match = false;
int limit = min(c_len, 8);
for (int k = 0; k < limit; ++k) {
if (s[k] == s[built + k]) {
match = true;
break;
}
}
if (!match && c_len > limit) {
for (int k = limit; k < c_len; ++k) {
if (s[k] == s[built + k]) {
match = true;
break;
}
}
}
if (!match) break;
score++;
built += c_len;
}
return score;
}
int solve_query(const vector<int>& s) {
int m = s.size();
if (m <= 1) return 0;
long long h = hash_subarray(s, 0, m - 1);
auto& cached_L1 = cache[h];
int best = 0;
for (int L1 = 1; L1 < m && L1 <= 64; ++L1) { // 限制 L1 范围
if (cached_L1.count(L1)) {
best = max(best, cached_L1[L1]);
} else {
int res = simulate(L1, s);
cached_L1[L1] = res;
best = max(best, res);
}
}
return best;
}
```
---
## ✅
使用方式
```cpp
int main() {
int n, q;
scanf("%d%d", &n, &q);
vector<int> a(n);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
scanf("%d", &a[i]);
}
while (q--) {
int l, r;
scanf("%d%d", &l, &r);
l--; r--;
vector<int> s(a.begin() + l, a.begin() + r + 1);
printf("%d\n", solve_query(s));
}
return 0;
}
```
---
## ✅ 优势分析
| 特性 | 说明 |
|------|------|
| ✅ 时间
优化 | 对相同/相似子数组避免重复计算 |
| ✅ 空间可控 | 只缓存实际出现的子数组哈希 |
| ✅ 易于扩展 | 可加入更多启发式（如跳过不可能的 L1） |
| ⚠️ 局限性 | 若所有子数组不同，缓存无效 |
---
## ✅ 总结回答
> **能否用
动态规划或
记忆化搜索替代暴力模拟？**
### ❌ 不能
使用传统 DP：
- 没有重叠子问题
- 状态空间过大（依赖完整历史）
- 路径由 `L1` 决定，无分支
### ✅ 但可以
使用“
记忆化模拟”：
- 缓存 `(子数组哈希, L1)` → 得分
- 利用贪心路径唯一性减少重复计算
- 结合值域小、早期匹配快等特性提升效率
---
扫一扫
304
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
