深度优先算法

《挑战程序设计竞赛》中的一道题：

给定整数 a 1 、a 2 、…、a n ，判断是否可以从中选出若干数，使它们的和恰好为 k。 

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输入 
n=4 
a={1,2,4,7} 
k=13 

输出 
Yes (13 = 2 + 4 + 7) 

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/***
 * 深度优先算法(Depth-First-Search)
 * 从数组a中选出几个数, 使它们的和恰好为k
 * 本题中有n=4个数字, 选择其中的几个使它们的和为k=13
 ***/
#include <iostream>
using namespace std;

int a[4] = {1,2,4,15};     //将待选择的数字存到数组中
int n = 4, k = 13;

//已经从前i项得到了和sum, 然后对i项之后的进行分支
bool dfs(int i, int sum) {
    //如果前n项都计算过了, 则返回sum是否与k相等
    if (i == n) return sum == k;    //所有的遍历都必须到达n层以后才会返回true或false

    //不加上a[i]的情况
    if (dfs(i + 1, sum)) return true;

    //加上a[i]的情况
    if (dfs(i + 1, sum + a[i])) return true;
    //即, 在更深一层的i+1层, 不论加a[i]还是不加a[i], 只要其中有一个情况能返回true, 则i这一层就返回true
    //最后层层向上传递, 直到第0层返回true.

    //无论是否加上a[i]都不能凑成k就返回false
    return false;
}

int main(){
    if (dfs(0, 0))
        printf("Yes\n");
    else
        printf("No\n");
}

这里用更简单的例子来推导具体的实现过程，

a[2] = {13, 1};

k = 13 , n =2;

第一层：从dfs(0, 0)开始， i = 0, sum = 0; 因为i不等于 2，则进行是否包含a[0]的判断, 不包含， 则调用dfs(1, 0)， 包含则调用dfs(1, 13),

第二层：花分两朵，先看左边这支：dfs(1, 0)，i不等于2，则进行判断是否包含a[1]，不包含则调用dfs(2, 0)，包含则调用dfs(2, 1),

第三层：继续看dfs(2, 0)。此时i等于2，则比较sum和k，显然不相等， 返回false,  继续看dfs(2,1), 也是返回false, 因此，返回到第二层dif(1, 0)，其返回false，

接着看第二层看另一支花：dfs(1, 13)，i不等于2，则进行判断是否包含a[1]，不包含则调用dfs(2,13)，包含则调用dfs(2, 14)，

第三层：继续看dfs(2,13)， i等于2， 则比较sum和k，相等，返回true，这里即不必调用dfs(2, 14)了, 直接返回到第二层dfs(1, 13), 

回到第一层，综合这两朵花dfs(1,0) 和dfs(1, 13)，dfs(1,0)是false, 被忽略，dfs(1, 13)是true, 被return true，所以dfs(0, 0) 返回true.

 

综合来看，dfs(i, sum)除非到达最后一层，否则就会先看 第i+1层，只要包含或者不包含a[i]这两种情况之一是true, 则dfs(i, sum)就返回true, 是false的那一支将被忽略, 如dfs(0, 0)的真假取决于dfs(1, 0) 和dfs(1, 13)的真假, 因为dfs(1, 13)为真, 所以dfs(0, 0)为真.