78、双向斯坦纳连通性的ETH紧算法与曲线最小面积同伦的几何计算

双向斯坦纳连通性的ETH紧算法与曲线最小面积同伦的几何计算

在图论和曲线研究领域，双向斯坦纳连通性问题以及曲线最小面积同伦问题一直是重要的研究方向。下面将分别介绍双向斯坦纳连通性问题的算法以及曲线最小面积同伦的相关研究。

双向斯坦纳连通性问题算法

双向斯坦纳连通性问题旨在找到满足特定条件的子图，以实现图的连通性。该算法主要分为两个步骤：计算 $S’_i$ 集合和组合元素四元组。

计算 $S’_i$ 集合

对于 $i \in {2, \ldots, 2n - 2}$，我们通过归纳法计算 $S’ i$。假设已经计算出了所有 $j \in {1, \ldots, i - 1}$ 的 $S’_j$，且 $|S’_j| \leq 20^{k + 1}n$。具体步骤如下：
1. 初始化 $S^\star_i = \varnothing$。
2. 向 $S^\star_i$ 中添加以下元组：
- 情况 (i)：通过顶点拼接计算部分解
对于所有 $j, r \in [i - 1]$ 且 $i = j + r$，以及每对元组 $(R_1, \varphi_1, A’ {in}, A’ {out}, h_1, z) \in S’_j$ 和 $(R_2, \varphi_2, A’‘ {in}, A’‘ {out}, h_2, z) \in S’_r$，如果 $\ell {R_1}(h_1) = \ell_{R_2}(h_2)$，并且元组 $Q = (R = R_1 \oplus R_2, \varphi, A’ {in} \cup A’‘ {in}, A’ {out} \cup A’‘ {out}, h, z)$ 是一个基本部分解，则将其添加到 $S^\star_i$ 中。其中，$h$ 是 $R$ 中满足 $\ell_R(h) = \ell_{R_1}(h_1) = \ell_{R_2}(h_2)$ 的顶点，$\varphi$ 的定义为：对于任意 $x \in V(R_q)$，$\varphi(x) = \varphi_q(x)$，$q \in {1, 2}$。
- 情况 (ii)：通过添加弧计算部分解
对于每个 $(R’, \varphi’, A’ {in}, A’ {out}, h’, z’) \in S’ {i - 1}$ 和弧 $z’z \in A(D)$，定义三个元组 $Q_1$、$Q_2$ 和 $Q_3$。以 $Q_1$ 为例，$Q_1 = (R, \varphi, A {in} \cup {h’h}, A_{out}, h, z)$，其中 $R$ 是图 $(V(R’) \cup {h}, A(R’) \cup {h’h})$，$\beta(R) = (\beta(R’) \cup {h}) \setminus {h’}$，$\varphi$ 的定义为：对于任意 $y \in V(R’)$，$\varphi(y) = \varphi’(y)$，且 $\varphi(h) = z$。如果 $Q_1$ 是基本部分解，则将其添加到 $S^\star_i$ 中。
- 情况 (iii)：其他类似情况
还有三种与情况 (ii) 相同的情况，分别是弧的尾部为“新顶点”、弧的头部为“新顶点”且弧的两个端点都是边界顶点、弧的尾部为“新顶点”且弧的两个端点都是边界顶点。

由于 $|S’ j| \leq 20^{k + 1}n$，对于所有 $j \in {1, \ldots, i - 1}$，$S^\star_i$ 的基数被 $2^{O(k)}n^2$ 所界定。然后，使用引理 3 计算 $S^\star_i$ 的代表集 $S’_i$，构造 $S’_i$ 的时间复杂度为 $2^{O(k)}n^3$，且 $|S’_i| \leq 20^{k + 1}n$。因此，计算 $S’_1, \ldots, S’ {2n - 2}$ 的总运行时间为 $2^{O(k)}n^4$。

以下是计算 $S’_i$ 集合的流程图：

graph TD;
    A[初始化 i = 2] --> B[初始化 S^\star_i = ∅];
    B --> C{j, r 遍历 [i - 1] 且 i = j + r};
    C -- 是 --> D{查找满足条件的元组对};
    D -- 是 --> E{判断 Q 是否为基本部分解};
    E -- 是 --> F[将 Q 添加到 S^\star_i];
    C -- 否 --> G{遍历 S'_{i - 1} 中的元组};
    G -- 是 --> H{查找弧 z'z};
    H -- 是 --> I{生成 Q1, Q2, Q3};
    I --> J{判断 Qj 是否为基本部分解};
    J -- 是 --> K[将 Qj 添加到 S^\star_i];
    G -- 否 --> L[使用引理 3 计算 S'_i];
    L --> M{i < 2n - 2};
    M -- 是 --> N[i = i + 1];
    N --> B;
    M -- 否 --> O[结束];

组合元素四元组

接下来，我们需要将元素四元组组合成一个解。在这个步骤中，我们使用代表族的概念并进行动态规划。
1. 部分解的定义 ：部分解是一个四元组 $(Y, \varphi, A_{in}, A_{out})$，其中 $Y$ 是一个 $k$ - 边界有向图，$A_{in} \subseteq A(Y)$，$A_{out} \subseteq A(Y)$，且 $A(Y) = A_{in} \cup A_{out}$，同时满足 $\varphi$ 是从 $Y$ 到 $D$ 的标签保持同态，以及对于任意 $u \in V(Y) \setminus \beta(Y)$，$A_{in}$ 中恰好有一条形如 $uw$ 的弧，$A_{out}$ 中恰好有一条形如 $w’u$ 的弧。
2. 部分解的组合 ：对于两个部分解 $Q_1 = (Y_1, \varphi_1, F_1, F’ 1)$ 和 $Q_2 = (Y_2, \varphi_2, F_2, F’_2)$，定义 $Q_1 \circ Q_2 = (Y = Y_1 \oplus Y_2, \varphi, F_1 \cup F_2, F’_1 \cup F’_2)$。
3. 代表集的计算 ：给定一个部分解集合 $F$，我们可以计算其代表子集 $F’$，使得对于任意 $Q \in F$ 和另一个部分解 $Z$，如果 $Q \circ Z$ 是 $G$ 的解，则存在 $Q’ \in F’$ 使得 $Q’ \circ Z$ 是 $D$ 的解，且 $|Q’| \leq |Q|$。
4. 具体组合过程 ：
- 初始化 $P_0 = {(\varnothing, \varnothing, \varnothing, \varnothing)}$，$P_1 = \hat{R}$。
- 对于 $i \in [2n - 2]$，计算 $Q_i = {Q \circ R : Q \in P {i - 1}, R \in \hat{R}}$，然后使用引理 6 计算 $Q_i$ 的代表集 $P_i$。
- 对于 $i \in {0, \ldots, 2n - 2}$ 和 $j \in {0, \ldots, k^2}$，初始化 $P_{i,0} = P_i$。对于 $j \in [k^2]$，计算 $Q_{i,j} = {P \circ B : P \in P_{i,j - 1}, B \in B}$，然后使用引理 6 计算 $Q_{i,j}$ 的代表集 $P_{i,j}$。
- 最后，在所有 $Q_{i,j}$ 中找到是 $D$ 的解的元组，并输出最小规模的解。

以下是组合元素四元组的流程图：

graph TD;
    A[初始化 P0 = {空四元组}] --> B[初始化 P1 = ˆR];
    B --> C{i 遍历 [2n - 2]};
    C -- 是 --> D[计算 Qi = {Q ∘ R : Q ∈ Pi - 1, R ∈ ˆR}];
    D --> E[使用引理 6 计算 Pi];
    E --> F{j 遍历 [k^2]};
    F -- 是 --> G[初始化 Pi,0 = Pi];
    G --> H[计算 Qi,j = {P ∘ B : P ∈ Pi,j - 1, B ∈ B}];
    H --> I[使用引理 6 计算 Pi,j];
    F -- 否 --> J[遍历所有 Qi,j 中的元组];
    J --> K{判断是否为 D 的解};
    K -- 是 --> L[记录最小规模的解];
    C -- 否 --> M[输出最小规模的解];

曲线最小面积同伦的几何计算

在曲线研究中，我们关注的是平面上的封闭曲线的最小面积同伦问题。

问题背景

平面上的封闭曲线是从圆 $S^1$ 到平面 $\mathbb{R}^2$ 的连续映射。最小同伦是指扫过最小可能面积的同伦。之前的研究中，Chambers 和 Wang 引入了最小同伦面积来衡量两条简单同伦曲线的相似度，但他们的算法要求曲线是简单的，具有一定的局限性。Fasy, Karako¸c, 和 Wenk 证明了对于作为浸入圆盘边界的封闭曲线，找到最小同伦面积的问题比较容易，并且任何通用封闭曲线都可以分解为自重叠子曲线，使得子曲线的组合同伦是最小的。

相关工作

• Blank 的工作 ：Samuel Blank 在 1967 年的博士论文中，通过从曲线 $\gamma$ 几何地构造一个组合词来确定 $\gamma$ 是否自重叠。
• Nie 的工作 ：Zipei Nie 在一篇未发表的手稿中，通过代数地构造一个组合词来计算 $\gamma$ 的最小同伦面积。

我们的贡献

• 证明等价性 ：我们首先证明了在适当的假设下，Blank 和 Nie 的词构造实际上是等价的。
• 扩展定义 ：我们将 Blank 的词定义扩展到子曲线和任意电缆绘制，并从几何角度解释了 Nie 的动态规划。
• 提供正确性证明 ：利用 Fasy, Karako¸c, 和 Wenk 的自重叠分解定理，我们为 Nie 的算法提供了正确性证明。
• 新的算法 ：我们提供了第一个多项式时间算法，用于计算任何封闭曲线 $\gamma$ 的最小面积自重叠分解。

以下是我们工作的步骤总结：
1. 证明 Blank 和 Nie 的词构造等价。
2. 扩展 Blank 的词定义到子曲线和任意电缆绘制。
3. 从几何角度解释 Nie 的动态规划。
4. 利用自重叠分解定理证明算法正确性。
5. 给出计算最小面积自重叠分解的多项式时间算法。

通过以上的研究，我们不仅解决了双向斯坦纳连通性问题，还为曲线最小面积同伦问题提供了新的思路和算法。这些成果在图论和曲线研究领域具有重要的理论和实际意义。

双向斯坦纳连通性的ETH紧算法与曲线最小面积同伦的几何计算

双向斯坦纳连通性算法的详细分析

为了更深入地理解双向斯坦纳连通性算法，我们对其关键步骤和性质进行详细分析。

算法正确性证明

算法的正确性基于几个重要的引理。
- 引理 4 ：对于所有 $i \in {1, \ldots, 2n - 2}$，$S’ i$ 代表 $S_i$。这保证了在计算过程中，我们使用的代表集能够准确反映原集合的性质，使得后续的组合操作是有效的。
- 引理 5 ：$\hat{S}$ 代表 $S$ 且 $|\hat{S}|$ 上界为 $O(2^{0k}n^2)$。这表明我们可以用一个规模相对较小的代表集来表示原集合，从而降低了算法的复杂度。
- 引理 6 ：存在一个算法，给定一个 Bi - SCSS 实例 $D$ 和一个部分解集合 $F$，在时间 $2^{O(k)}|F| \cdot n$ 内输出 $F$ 的一个子集 $F’$，其基数最多为 $2^{0k}$ 且代表 $F$。这个引理是动态规划中计算代表集的关键，保证了我们能够高效地找到合适的代表集。
- 引理 7 ：对于任意 $i \in {0, \ldots, 2n - 2}$ 和 $j \in {0, \ldots, k^2}$，$P {i,j}$ 是 $Z_{i,j}$ 的代表。通过归纳法证明了在组合元素四元组的过程中，每个阶段计算得到的代表集都能准确代表相应的集合，从而保证了最终找到的解是正确的。

下面是这些引理之间关系的表格：
| 引理编号 | 作用 | 与其他引理的关联 |
| — | — | — |
| 引理 4 | 保证 $S’ i$ 对 $S_i$ 的代表性 | 为引理 5 中 $\hat{S}$ 代表 $S$ 提供基础 |
| 引理 5 | 说明 $\hat{S}$ 的规模和代表性 | 用于后续组合元素四元组时确定 $\hat{R}$ 的规模 |
| 引理 6 | 提供计算部分解代表集的算法 | 是组合元素四元组过程中计算 $P_i$ 和 $P {i,j}$ 的核心 |
| 引理 7 | 证明 $P_{i,j}$ 对 $Z_{i,j}$ 的代表性 | 保证最终找到的解是正确的 |

运行时间分析

• 计算 $S’ 1, \ldots, S’ {2n - 2}$ 花费时间 $2^{O(k)}n^4$。这是因为在计算每个 $S’_i$ 时，需要遍历之前的集合，并且使用引理 3 计算代表集，这些操作的复杂度导致了总的时间开销。
• 由于 $|\hat{S}|$ 最多为 $O(2^{0k}n^2)$，所以 $\hat{R}$ 的基数上界为 $O(2^{0k}n^2)$。
• 计算 $P_0, \ldots, P_{2n - 2}$ 花费时间 $2^{O(k)}n^2$，且对于所有 $i \in {0, \ldots, 2n - 2}$，$|P_i| \leq 2^{0k}$。这是因为在计算 $P_i$ 时，使用引理 6 计算代表集，其复杂度与集合的规模相关。
• 计算所有 $i \in {0, \ldots, 2n - 2}$ 和 $j \in {0, \ldots, k^2}$ 的 $P_{i,j}$ 一起花费时间 $2^{O(k)}n^2$，并且每个 $Q_{i,j}$ 的基数上界为 $2^{0k}$。

因此，算法的总运行时间为 $2^{O(k)}n^4$。

曲线最小面积同伦计算的深入探讨

Blank 词与 Nie 词的等价性证明

我们通过一系列的理论推导证明了在适当的假设下，Blank 和 Nie 的词构造是等价的。具体来说，我们需要考虑曲线的拓扑结构和组合词的构造规则。当曲线的某些特征满足特定条件时，两种词的构造方式会得到相同的结果。这一等价性的证明为后续的研究奠定了基础，使得我们可以将 Nie 的代数方法和 Blank 的几何方法联系起来。

扩展 Blank 词定义

将 Blank 的词定义扩展到子曲线和任意电缆绘制是一个关键步骤。在原有的定义中，电缆的位置是特定的，对于子曲线来说，这些电缆可能不再适用。我们通过引入一些新的概念和规则，使得可以在子曲线和任意电缆绘制的情况下定义 Blank 词。例如，我们需要重新考虑电缆与子曲线的交叉情况，以及如何准确地记录这些交叉信息。

以下是扩展 Blank 词定义的步骤列表：
1. 确定子曲线的边界和拓扑结构。
2. 分析任意电缆绘制与子曲线的位置关系。
3. 定义新的交叉记录规则，确保能够准确表示子曲线的特征。
4. 验证扩展后的定义在不同情况下的一致性和正确性。

几何解释 Nie 的动态规划

从几何角度解释 Nie 的动态规划是我们研究的一个重要成果。通过将动态规划中的组合词与曲线的几何特征联系起来，我们可以直观地理解算法的执行过程。例如，动态规划中的每一步可以对应到曲线的某种变换或操作，而组合词的变化则反映了曲线的拓扑结构的改变。

以下是几何解释 Nie 的动态规划的流程图：

graph TD;
    A[开始动态规划] --> B[将组合词与曲线几何特征关联];
    B --> C{判断是否满足终止条件};
    C -- 否 --> D[进行组合词的变换];
    D --> E[更新曲线的拓扑结构];
    E --> B;
    C -- 是 --> F[输出结果];

最小面积自重叠分解算法

我们提供了第一个多项式时间算法来计算任何封闭曲线 $\gamma$ 的最小面积自重叠分解。该算法基于我们对 Blank 词和 Nie 词的研究，以及自重叠分解定理。具体步骤如下：
1. 对曲线 $\gamma$ 进行预处理，计算其相关的组合词。
2. 根据组合词的性质，确定可能的自重叠分解方式。
3. 通过动态规划或其他优化方法，在所有可能的分解方式中找到最小面积的分解。
4. 输出最小面积自重叠分解的结果。

通过以上的研究，我们在双向斯坦纳连通性问题和曲线最小面积同伦问题上取得了重要的成果。这些成果不仅在理论上有重要意义，也为实际应用提供了有效的算法和方法。