动态规划优化

单调队列

简述

函数 $f[i]$，转移如下：
$f[i]=min(g[j])$ 其中 $g[j]$ 是关于 $j$ 或 $f[j]$ 的一个函数，且 $b[i]≤j<i$
维护一个单调递增的队列，队列中的元素下表保证关于 $i$ 合法，即 $b[i]≤j<i$。每次决策前删除队首不合法的元素，决策时取队首元素转移，决策后将当前值加入队尾并保证单调性即可。复杂度为 $O(n)$。

四边形不等式

简述

函数 $f[i][j]$ ，转移如下：
$f[i][j]=min(f[i][k]+f[k+1][j]+w[i][j])$ 其中 $i≤k<j$
若函数 $w[i][j]$ 具有以下两种性质：
1、当 $a≤b<c≤d$ 时 $w[b][c]≤w[a][d]$
2、当 $a≤b<c≤d$ 时 $w[a][c]+w[b][d]≤w[b][c]+w[a][b]$
我们称函数 $w[i][j]$ 满足关于区间包含的单调性与四边形不等式，此时函数 $f[i][j]$ 也将满足四边形不等式，其决策函数 $g[i][j]$ 将满足关于区间包含的单调性。我们可以利用 $g[i][j]$ 满足关于区间包含的单调性这一性质来缩小决策变量 $k$ 的枚举范围，以优化dp。

一些题目

最小代价子母树

Description

设有 $n$ 堆沙子，每堆沙子都有一定的质量，现在要将 $n$ 堆沙子归并成一堆，归并的过程为每次将相邻的两堆沙子合成一堆，这样经过 $n-1$ 次归并后将只剩下一堆沙子。两堆沙子的质量的和为归并两堆沙子的代价，现求进行 $n-1$ 次归并的最小代价。

Solution & Code

$f[i][j] = min(f[i][k]+f[k+1][j]+sum[i][j])$
其中 $sum[i][j]$ 满足关于区间包含的单调性与四边形不等式，故 $f[i][j]$ 满足四边形不等式，其决策函数 $g[i][j]$ 满足关于区间包含的单调性，所以可以用四边形不等式加速。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 105;
const int inf = 1e9;

int n, w[maxn], s[maxn], f[maxn][maxn], g[maxn][maxn];

int main(){

    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &w[i]);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) s[i] = s[i-1] + w[i];
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for(int j = 1; j <= n; ++j)
            f[i][j] = inf;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) f[i][i] = 0, g[i][i] = i;
    for(int l = 2; l <= n; ++l)
        for(int i = 1, j = i + l - 1; j <= n; ++i, ++j)
            for(int k = g[i][j-1]; k <= g[i+1][j] && k < j; ++k){
                int tmp = f[i][k] + f[k+1][j] + s[j] - s[i-1];
                if(f[i][j] > tmp){
                    f[i][j] = tmp;
                    g[i][j] = k;
                }
            }
    printf("%d\n", f[1][n]);

    return 0;
}